Непрерывные и разрывные функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Непрерывность функции в точке

Существует примерно четыре определения непрерывности функции в точке.

Определение 1

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $х=х_0$ , если $\forall \varepsilon >{\rm 0}$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_{0} ) >{\rm 0}$ такое, что $\left|f(x)-f(x_{0} )\right|

Это определение непрерывности функции в точке эквивалентно определению предела функции в точке, с той лишь разницей, что значение предела равно значению функции в этой точке, т. е. $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0} )$ .

Определение 2

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $х=х_0$ , если $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0} )$ .

Определение 3

Тот факт, что $\exists$ $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0} )$ эквивалентен f $(x_0+0)=f(x_0-0)=f(x_0)$ .

Определение 4

Введём в рассмотрение $\Delta y(x_0)=f(x_0+ \Delta x)=f(x_0)$ , $\Delta x$ - приращение аргумента, $\Delta y(x_0)$ - приращение функции. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $х_0$ , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если в какой-то точке какое-либо определение (1 - 4) нарушено, то функция $f(x)$ называется разрывной в этой точке.

Возможны такие случаи:

1. ${\rm f(x}_{{\rm 0}} +0)\ne f(x_{0} -0)\ne f(x_{0} )$ - в этом случае $х=х_0$ - точка разрыва.

2. ${\rm f(x}_{{\rm 0}} +0)=f(x_{0} )\ne f(x_{0} -0)$ - функция $f(x)$ называется непрерывной справа или ${\rm f(x}_{{\rm 0}} +0)=\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} +0} f(x)=f(x_{0} )$

«Непрерывные и разрывные функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

3. ${\rm f(x}_{{\rm 0}} -0)=f(x_{0} )\ne f(x_{0} +0)$ - функция $f(x)$ называется непрерывной слева или ${\rm f(x}_{{\rm 0}} -0)=\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} -0} f(x)=f(x_{0} )$ .

Теорема 1

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $х=а$ , тогда $f(x) \pm g(x)$ , ${\rm f}{\rm (x)}\cdot {\rm g(x)}$ , $\frac{f(x)}{g(x)}$ , если $g(а) \ne 0$ непрерывны в точке $х=а$ .

Доказательство.

Т. к. функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $х=а$ , то $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm 0}} f(x)=f(0)$ и $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm 0}} {\rm g}(x)=g(0)$ , тогда по свойству пределов:

Следовательно, сумма и разность непрерывных функций являются непрерывными.

Теоремы, связанные с понятием непрерывности

Теорема 2

Теорема Больцано-Коши (1)

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и на его концах принимает значения разных знаков, то между $a\ и\ b$ существует по крайней мере одна точка $c$ такая, что $f\left(c\right)=0$ .

Теорема 3

Теорема Больцано-Коши (2)

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и на его концах принимает различные значения $f\left(a\right)=A\ne f\left(b\right)=B$ , то для любого действительного числа $C$ , лежащего между $A\ и\ B$ , существует по крайней мере одна точка $c$ , лежащая между $a\ и\ b$ , такая, что $f\left(c\right)=C$ .

Теорема 4

Теорема о существовании обратной непрерывной функции

Если возрастающая (убывающая) функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $X\in R$ , то в промежутке $y=E(f)\in R$ у нее существует обратная функция, которая также возрастает (убывает) и непрерывна в своей области определения.

Теорема 5

Теорема Вейерштрасса (1)

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена на этом отрезке (снизу и сверху).

Теорема 6

Теорема Вейерштрасса (2)

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она достигает свою точную верхнюю и нижнюю границы.

Точки разрыва функции

Точки разрыва делятся на два рода: точки разрыва первого и второго рода. Причем точки разрыва первого рода, в свою очередь, подразделяется на точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком.

Определение 5

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва первого рода, если в ней существую конечные пределы ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$ , ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ , но нарушается равенство ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }=f(x_0)$

Определение 6

Точка $x_0\in X$ называется точкой устранимого разрыва, если она является точкой разрыва первого рода и выполняется ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }\ne f(x_0)$

Определение 7

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва с конечным скачком, если она является точкой разрыва первого рода и выполняется ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }\ne {\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$

При этом число ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }-{\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$ называется скачком функции.

Определение 8

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из пределов ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$ , ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ бесконечен или не существует.

Задачи на исследование непрерывности функции

Пример 1

Исследовать на непрерывность функцию

Рисунок 1.

Решение:

Очевидно, мы имеет две точки, подозрительные на разрыв:

$x=-\frac{\pi }{2}$

${\mathop{lim}_{x\to -\frac{\pi }{2}-0} f\left(x\right)={\mathop{lim}_{x\to -\frac{\pi }{2}-0} 0=\ }\ }0, {\mathop{lim}_{x\to -\frac{\pi }{2}+0} f(x)\ }={\mathop{lim}_{x\to -\frac{\pi }{2}+0} cosx\ }=0$

$f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=cos\left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$

Значит, выполняется равенство ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }=f(x_0)$ , следовательно, функция непрерывна.

$x=0$

${\mathop{lim}_{x\to 0-0} f\left(x\right)={\mathop{lim}_{x\to 0-0} cosx=\ }\ }1, {\mathop{lim}_{x\to 0+0} f(x)\ }={\mathop{lim}_{x\to 0+0} sinx\ }=0$

$f\left(0\right)=cos\left(0\right)=1$

Значит, пределы конечны и выполняется ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }\ne {\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ , следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода с конечным скачком.