Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Вероятность попадания в интервал показательной случайной величины

Напомним, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β) находится по формуле:

величины



Рисунок 1.

где γ - положительная константа.

Напомним, что функция распределения показательной вероятности имеет следующий вид:



Рисунок 2.

где γ - положительная константа.

Тогда:

Значения функции $y=e^{-x}$

Рисунок 3. Значения функции y=ex

Примеры решения задач на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

Пример 1

Непрерывная случайная величина X подчиняется показательному закону распределения. На промежутке [0,) плотность распределения имеет вид: φ(x)=5eαx.

Найти:

  1. Коэффициент α.
  2. Плотность распределения.
  3. Функция распределения.
  4. Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,1).

Решение:

  1. Так как распределения является показательным, то по формуле плотности распределения α=5.
  2. По формуле плотности распределения, получим:



Рисунок 4.

  1. По формуле функции распределения, имеем:



Рисунок 5.

  1. Найдем вероятность по формуле:
\[P\left(\alpha Из таблицы 1, имеем: e5=0,0067, значит \[P\left(0
Пример 2

Работа телефонного аккумулятора имеет показательное распределение с коэффициентом γ=0,04. Определить:

  1. Вероятность того, что телефон разрядится через 70 часов.
  2. Вероятность того, что за это время телефон не разрядится.

Решение:

Воспользуемся формулой $P\left(\alpha

  1. Найти вероятность того, что телефон разрядится равносильно тому, чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,70):
\[P\left(0Из таблицы 1, находим e2,8=0,756, тогда \[P\left(0То есть, вероятность того, что телефон разрядится, составляет 24,4%.

Тогда вероятность того, что он не разрядится, равна

100%24,4%=75,6%
Пример 3

10\% телевизоров ломаются в течении первых 4000 часов работы. Найти вероятность, что телевизор сломается в интервале от 1000 до 2000 часов работы. (Распределение считать экспоненциальным)

Решение:

По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:



Рисунок 6.

Для начала необходимо найти константу γ. Из условия задачи, получаем:

P(X4000)=0,1.

Найдем P(X4000):

\[P\left(X\ge 4000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно



Рисунок 7.

Значит

F(4000)=1e4000γ

Получаем уравнение:

11+e4000γ=0,1,
e4000γ=0,1,
4000γ=ln0,1,
γ=ln0,14000=0,00058

Получаем, что плотность распределения имеет вид:



Рисунок 8.



Рисунок 9.

Ответ: 24%.

Дата последнего обновления статьи: 24.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Вероятность попадания в интервал показательной случайной величины"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant