Напомним, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β) находится по формуле:
величины
Рисунок 1.
где γ - положительная константа.
Напомним, что функция распределения показательной вероятности имеет следующий вид:
Рисунок 2.
где γ - положительная константа.
Тогда:
Рисунок 3. Значения функции y=e−x
Примеры решения задач на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал
Непрерывная случайная величина X подчиняется показательному закону распределения. На промежутке [0,∞) плотность распределения имеет вид: φ(x)=5e−αx.
Найти:
- Коэффициент α.
- Плотность распределения.
- Функция распределения.
- Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,1).
Решение:
- Так как распределения является показательным, то по формуле плотности распределения α=5.
- По формуле плотности распределения, получим:
Рисунок 4.
- По формуле функции распределения, имеем:
Рисунок 5.
- Найдем вероятность по формуле:
Работа телефонного аккумулятора имеет показательное распределение с коэффициентом γ=0,04. Определить:
- Вероятность того, что телефон разрядится через 70 часов.
- Вероятность того, что за это время телефон не разрядится.
Решение:
Воспользуемся формулой $P\left(\alpha
- Найти вероятность того, что телефон разрядится равносильно тому, чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,70):
Тогда вероятность того, что он не разрядится, равна
100%−24,4%=75,6%10\% телевизоров ломаются в течении первых 4000 часов работы. Найти вероятность, что телевизор сломается в интервале от 1000 до 2000 часов работы. (Распределение считать экспоненциальным)
Решение:
По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:
Рисунок 6.
Для начала необходимо найти константу γ. Из условия задачи, получаем:
P(X≥4000)=0,1.Найдем P(X≥4000):
\[P\left(X\ge 4000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно
Рисунок 7.
Значит
F(4000)=1−e−4000γПолучаем уравнение:
1−1+e−4000γ=0,1,Получаем, что плотность распределения имеет вид:
Рисунок 8.
Рисунок 9.
Ответ: 24%.