Здесь мы будем рассматривать уравнения и неравенства с параметрами на конкретных примерах.
Уравнения с параметрами. Линейное уравнение
Решить уравнение относительно a: x−a=2x+3a−1
Видим, что это линейное уравнение, то есть оно всегда имеет один корень. Будем рассматривать параметр a как число.
x−2x=3a+a−1Ответ: x=1−4a при любом значении параметра a.
Уравнение с модулем
Решить уравнение |3−2x|=2a−1
Так как с правой стороны у нас стоит модуль, то 2a−1 должно быть больше или равно нулю. Поэтому получаем три случая:
-
2a−1>0, a>12, тогда
[3−2x=2a−1,3−2x=1−2a.[x=2−a,x=a+1. -
2a−1=0, a=12
3−2x=0x=32 $2a-1
Квадратные уравнения
При каком значении параметра a уравнение имеет 2 корня?
x2−ax+2a=0Как мы знаем, квадратное уравнение имеет два корня, когда дискриминант больше нулю. Найдем дискриминант.
D=a2−8aМетодом интервалов получаем
Ответ: (−∞,0)(8,+∞)
Тригонометрические уравнения
Решить уравнение sinx=a−1
Мы знаем, что −1≤sinx≤1, поэтому имеет два случая:
-
−1≤a−1≤1, a∈[0,2]
sinx=a−1,x=(−1)narcsin(a−1) +πn,n∈Z -
a∈(−∞,0)(2,+∞)− решений нет.
Логарифмическое уравнение
Решить уравнение log5(a+1)x=2
Воспользовавшись определением логарифма, получим:
(a+1)x=25Получаем:
-
При a=−1−корней нет.
-
При a∈(−∞,−1)(−1,+∞) ответ x=25a+1.
Неравенства с параметрами. Линейное неравенство
Решить неравенство относительно a: $x-a
Будем рассматривать параметр a как число.
x−2x1−4aОтвет: (1−4a,+∞) при любом значении параметра a.
Неравенство с модулем
Решить уравнение |3−2x|>2a−1
Рассмотрим три случая:
-
2a−1>0, a>12, тогда
[3−2x>2a−1,3−2x2a−4,−2xa+1.То есть x∈(−∞,2−a)(a+1,+∞)
-
2a−1=0, a=12
|3−2x|>0x≠32То есть x∈(−∞,32)(32,+∞)
$2a-1
Квадратные неравенства
При каком значении параметра a неравенство не имеет решений?
x2−ax+2a≤0Так как ветви квадратного уравнения идут вверх, то неравенство не будет иметь решений, если график функции не будет пересекать ось Ox, то есть если уравнение x2−ax+2a≤0 не будет иметь решений. Значит необходимо найти такие значения параметра a, при которых дискриминант меньше 0.
D=a2−8aОтвет: (0,8)
Тригонометрические неравенства
Решить неравенство cosx>a
Здесь можно выделить три случая:
-
a≥1, тогда, так как −1≤cosx≤1, решений нет.
$a
-
a∈[−1,1), тогда
Показательное неравенство
Решить неравенство ${10}^x
Здесь можно выделить два случая:
-
a≤−2 тогда, очевидно, решений нет. ( Так как 10x>0)
a>−2, тогда $x