Здесь мы будем рассматривать уравнения и неравенства с параметрами на конкретных примерах.
Уравнения с параметрами. Линейное уравнение
Решить уравнение относительно $a$: $x-a=2x+3a-1$
Видим, что это линейное уравнение, то есть оно всегда имеет один корень. Будем рассматривать параметр $a$ как число.
\[x-2x=3a+a-1\] \[x=1-4a\]Ответ: $x=1-4a$ при любом значении параметра $a$.
Уравнение с модулем
Решить уравнение $\left|3-2x\right|=2a-1$
Так как с правой стороны у нас стоит модуль, то $2a-1$ должно быть больше или равно нулю. Поэтому получаем три случая:
-
$2a-1 >0,\ a >\frac{1}{2}$, тогда
\[\left[ \begin{array}{c} {3-2x=2a-1,} \\ {3-2x=1-2a.} \end{array} \right.\] \[\left[ \begin{array}{c} {x=2-a,} \\ {x=a+1.} \end{array} \right.\] -
$2a-1=0,\ a=\frac{1}{2}$
\[3-2x=0\] \[x=\frac{3}{2}\] $2a-1
Квадратные уравнения
При каком значении параметра $a$ уравнение имеет 2 корня?
\[x^2-ax+2a=0\]Как мы знаем, квадратное уравнение имеет два корня, когда дискриминант больше нулю. Найдем дискриминант.
\[D=a^2-8a\] \[a^2-8a >0\] \[a=0,a=8\]Методом интервалов получаем
Ответ: $\left(-\infty ,0\right)(8,+\infty )$
Тригонометрические уравнения
Решить уравнение $sinx=a-1$
Мы знаем, что $-1\le sinx\le 1$, поэтому имеет два случая:
-
$-1\le a-1\le 1,\ a\in [0,2]$
\[sinx=a-1,\] \[x=(-1)^n{arcsin \left(a-1\right)\ }+\pi n,n\in Z\] -
$a\in \left(-\infty ,0\right)\left(2,+\infty \right)-\ решений\ нет$.
Логарифмическое уравнение
Решить уравнение ${{log}_5 \left(a+1\right)x=2\ }$
Воспользовавшись определением логарифма, получим:
\[\left(a+1\right)x=25\] \[x=\frac{25}{a+1}\]Получаем:
-
При $a=-1-корней\ нет.$
-
При $a\in \left(-\infty ,-1\right)(-1,+\infty )$ ответ $x=\frac{25}{a+1}$.
Неравенства с параметрами. Линейное неравенство
Решить неравенство относительно $a$: $x-a
Будем рассматривать параметр $a$ как число.
\[x-2x1-4a\]Ответ: $(1-4a,+\infty )$ при любом значении параметра $a$.
Неравенство с модулем
Решить уравнение $\left|3-2x\right| >2a-1$
Рассмотрим три случая:
-
$2a-1 >0,\ a >\frac{1}{2}$, тогда
\[\left[ \begin{array}{c} {3-2x >2a-1,} \\ {3-2x2a-4,} \\ {-2xa+1.} \end{array} \right.\]То есть $x\in \left(-\infty ,2-a\right)(a+1,+\infty )$
-
$2a-1=0,\ a=\frac{1}{2}$
\[\left|3-2x\right| >0\] \[x\ne \frac{3}{2}\]То есть $x\in \left(-\infty ,\frac{3}{2}\right)(\frac{3}{2},+\infty )$
$2a-1
Квадратные неравенства
При каком значении параметра $a$ неравенство не имеет решений?
\[x^2-ax+2a\le 0\]Так как ветви квадратного уравнения идут вверх, то неравенство не будет иметь решений, если график функции не будет пересекать ось $Ox$, то есть если уравнение $x^2-ax+2a\le 0$ не будет иметь решений. Значит необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых дискриминант меньше $0$.
\[D=a^2-8a\] \[a^2-8aМетодом интервалов получаемОтвет: $(0,8)$
Тригонометрические неравенства
Решить неравенство $cosx >a$
Здесь можно выделить три случая:
-
$a\ge 1$, тогда, так как $-1\le cosx\le 1$, решений нет.
$a
-
$a\in [-1,1)$, тогда
Показательное неравенство
Решить неравенство ${10}^x
Здесь можно выделить два случая:
-
$a\le -2$ тогда, очевидно, решений нет. ( Так как ${10}^x >0$)
$a >-2$, тогда $x