Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнения и неравенства с параметрами

Здесь мы будем рассматривать уравнения и неравенства с параметрами на конкретных примерах.

Уравнения с параметрами. Линейное уравнение

Пример 1

Решить уравнение относительно a: xa=2x+3a1

Видим, что это линейное уравнение, то есть оно всегда имеет один корень. Будем рассматривать параметр a как число.

x2x=3a+a1
x=14a

Ответ: x=14a при любом значении параметра a.

Уравнение с модулем

Пример 2

Решить уравнение |32x|=2a1

Так как с правой стороны у нас стоит модуль, то 2a1 должно быть больше или равно нулю. Поэтому получаем три случая:

  1. 2a1>0, a>12, тогда

    [32x=2a1,32x=12a.
    [x=2a,x=a+1.
  2. 2a1=0, a=12

    32x=0
    x=32
  3. $2a-1

Квадратные уравнения

Пример 3

При каком значении параметра a уравнение имеет 2 корня?

x2ax+2a=0

Как мы знаем, квадратное уравнение имеет два корня, когда дискриминант больше нулю. Найдем дискриминант.

D=a28a
a28a>0
a=0,a=8

Методом интервалов получаем

Ответ: (,0)(8,+)

Тригонометрические уравнения

Пример 4

Решить уравнение sinx=a1

Мы знаем, что 1sinx1, поэтому имеет два случая:

  1. 1a11, a[0,2]

    sinx=a1,
    x=(1)narcsin(a1) +πn,nZ
  2. a(,0)(2,+) решений нет.

Логарифмическое уравнение

Пример 5

Решить уравнение log5(a+1)x=2 

Воспользовавшись определением логарифма, получим:

(a+1)x=25
x=25a+1

Получаем:

  1. При a=1корней нет.

  2. При a(,1)(1,+) ответ x=25a+1.

«Уравнения и неравенства с параметрами» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Неравенства с параметрами. Линейное неравенство

Пример 6

Решить неравенство относительно a: $x-a

Будем рассматривать параметр a как число.

x2x14a

Ответ: (14a,+) при любом значении параметра a.

Неравенство с модулем

Пример 7

Решить уравнение |32x|>2a1

Рассмотрим три случая:

  1. 2a1>0, a>12, тогда

    [32x>2a1,32x2a4,2xa+1.

    То есть x(,2a)(a+1,+)

  2. 2a1=0, a=12

    |32x|>0
    x32

    То есть x(,32)(32,+)

  3. $2a-1

Квадратные неравенства

Пример 8

При каком значении параметра a неравенство не имеет решений?

x2ax+2a0

Так как ветви квадратного уравнения идут вверх, то неравенство не будет иметь решений, если график функции не будет пересекать ось Ox, то есть если уравнение x2ax+2a0 не будет иметь решений. Значит необходимо найти такие значения параметра a, при которых дискриминант меньше 0.

D=a28a
\[a^2-8aМетодом интервалов получаем

Ответ: (0,8)

Тригонометрические неравенства

Пример 9

Решить неравенство cosx>a

Здесь можно выделить три случая:

  1. a1, тогда, так как 1cosx1, решений нет.

  2. $a

  3. a[1,1), тогда

x(arccosa+2πn,arccosa+2πn),nZ

Показательное неравенство

Пример 10

Решить неравенство ${10}^x

Здесь можно выделить два случая:

  1. a2 тогда, очевидно, решений нет. ( Так как 10x>0)

  2. a>2, тогда $x

Дата последнего обновления статьи: 08.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнения и неравенства с параметрами"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant