Признаки подобия треугольников

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$ . (рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$ .

По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

По теореме 0, получим

Из этих равенств, получим

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 3

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

«Признаки подобия треугольников» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $\angle A=\angle A_1$ и $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$ . Построим треугольник $ACB_2$ , так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$ , а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно, $\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}$ . По условию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$ , следовательно, $AB=AB_2$ . Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$ , а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 4

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ , у которых $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ .

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$ . Построим треугольник $ACB_2$ , так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$ , а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно, $\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}=\frac{CB_2}{C_1B_1}$ . Принимая во внимание равенства $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$ , получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$ . Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$ .