Напомним определение плотности вероятности.
Плотность распределения (плотность вероятности) φ(x) -- это производная функции распределения непрерывной случайной величины.
Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:
Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:
Рисунок 1.
Найдем значение константы C, используя следующее свойство плотности распределения: +∞∫−∞φ(x)dx=1
Получим:
+∞∫−∞φ(x)dx=a∫−∞0dx+b∫aCdx++∞∫b0dx=0+Cb−Ca+0=C(b−a)Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:
Рисунок 2.
График имеет следующий вид (рис. 1):
Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности
Функция равномерного распределения вероятностей
Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.
Для этого будем использовать следующую формулу: F(x)=x∫−∞φ(x)dx
- При x≤a, по формуле, получим:
- При $a
- При x>2, по формуле, получим:
Таким образом, функция распределения имеет вид:
Рисунок 4.
График имеет следующий вид (рис. 2):
Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β) при равномерном распределении вероятностей
Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал (α,β) при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:
Математическое ожидание:
Среднее квадратическое отклонение:
Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей
Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.
-
Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины X ожидания пассажирами троллейбуса.
-
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.
-
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.
-
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Решение.
- Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса X равномерно распределена, то a=0, b=9.
Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:
Рисунок 6.
По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:
Рисунок 7.
- Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал (6,9).
Получаем:
\[P\left(6Получаем: $P\left(0
- Математическое ожидание: M(X)=a+b2=92=4,5.
Дисперсия: D(X)=(b−a)212=8112=274.
Среднее квадратическое отклонение: σ(X)=b−a2√3=92√3=3√32
