Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Основное логарифмическое тождество

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.

Замечание 1

Показательное уравнение an=b при a>0, a1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают:

alogab=b.

Определение 2

Выражение

alogab=b

называют основным логарифмическим тождеством при условии, что a,b>0, a1.

Пример 1

17log176=6;

eln13=13;

10lg23=23.

Основное логарифмическое тождество

Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.

Пример 2

75=16807, следовательно log716807=5.

35=1243, следовательно log31243=5.

110=1, следовательно log111=0.

Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества:

Определение 3

Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:

если logab=logac, то b=c.

«Основное логарифмическое тождество» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Рассмотрим ограничения, которые применяются для логарифмического тождества:

  1. a1.

    Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство x=logab существует только при b=1, то при этом log11 будет любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают a1.

  2. a>0.

    Логарифм для a=0 согласно определению может существовать лишь при b=0. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то log00 может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают a0. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают a>0.

  3. b>0.

    b>0 следует из условия a>0, т.к. x=logab, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.

Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.

Пример 3

Вычислить 81log97.

Решение.

Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:

81=92.

Теперь можем записать:

81log97=(92)log97=

воспользуемся свойством степени:

=92log97=9log979log97=

к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:

=77=49.

Замечание 2

Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.

Пример 4

Вычислить 71log117.

Решение.

71log117=7log711=11.

Ответ: 11.

Пример 5

Вычислить 73log117.

Решение.

В предыдущем примере вычислялся похожий логарифм, который отличается от данного числом 3 в числителе дроби показателя степени числа.

Воспользуемся свойством возведения в степень:

73log117=(71log117)3=(7log711)3=113=1331.

Ответ: 1331.

Пример 6

Вычислить 712log117.

Решение.

В данном примере в знаменателе стоит число 2, которое отличает выражение от вышерассмотренного примера. Вынесем число 12 за знак дроби:

712log117=71log11712=(71log117)12=(7log711)12=1112=11.

Ответ: 11.

Пример 7

Вычислить 6(log76)1.

Решение.

6(log76)1=61log76=6log67=7.

Ответ: 7.

Пример 8

Вычислить 108lg3.

Решение.

108lg3=(10lg3)8=38=16561.

Ответ: 108lg3=16561.

Дата последнего обновления статьи: 20.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Основное логарифмическое тождество"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant