Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества
Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.
Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:
Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.
Показательное уравнение an=b при a>0, a≠1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают:
alogab=b.
Выражение
alogab=b
называют основным логарифмическим тождеством при условии, что a,b>0, a≠1.
17log176=6;
eln13=13;
10lg23=23.
Основное логарифмическое тождество
Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.
75=16807, следовательно log716807=5.
3−5=1243, следовательно log31243=−5.
110=1, следовательно log111=0.
Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества:
Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:
если logab=logac, то b=c.
Рассмотрим ограничения, которые применяются для логарифмического тождества:
-
a≠1.
Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство x=logab существует только при b=1, то при этом log11 будет любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают a≠1.
-
a>0.
Логарифм для a=0 согласно определению может существовать лишь при b=0. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то log00 может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают a≠0. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают a>0.
-
b>0.
b>0 следует из условия a>0, т.к. x=logab, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.
Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.
Вычислить 81log97.
Решение.
Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:
81=92.
Теперь можем записать:
81log97=(92)log97=
воспользуемся свойством степени:
=92⋅log97=9log97⋅9log97=
к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:
=7⋅7=49.
Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.
Вычислить 71log117.
Решение.
71log117=7log711=11.
Ответ: 11.
Вычислить 73log117.
Решение.
В предыдущем примере вычислялся похожий логарифм, который отличается от данного числом 3 в числителе дроби показателя степени числа.
Воспользуемся свойством возведения в степень:
73log117=(71log117)3=(7log711)3=113=1331.
Ответ: 1331.
Вычислить 712log117.
Решение.
В данном примере в знаменателе стоит число 2, которое отличает выражение от вышерассмотренного примера. Вынесем число 12 за знак дроби:
712log117=71log117⋅12=(71log117)12=(7log711)12=1112=√11.
Ответ: √11.
Вычислить 6(log76)−1.
Решение.
6(log76)−1=61log76=6log67=7.
Ответ: 7.
Вычислить 10−8lg3.
Решение.
10−8lg3=(10lg3)−8=3−8=16561.
Ответ: 10−8lg3=16561.