Применение новой переменной интегрирования
Во многих случаях применение новой переменной интегрирования позволяет свести данный сложный интеграл к табличному. Такой подход к интегрированию базируется на двух основных формулах:
- формула подстановки вида $\phi \left(t\right)=x$ в интеграле $\int f\left(\phi \left(t\right)\right)\cdot d\phi \left(t\right) $, когда определенным образом подобранная функция $\phi \left(t\right)$ старого аргумента $t$ принимается за новую переменную $x$;
- формула замены переменной вида $x=\phi \left(t\right)$ в интеграле $\int f\left(x\right)\cdot dx $, когда старый аргумент $x$ заменяют определенным образом подобранной функцией новой переменной $t$.
При этом на функцию $\phi \left(t\right)$ накладываются следующие ограничения:
- должна иметь смысл композиция функций $f\left(\phi \left(t\right)\right)$, а для этого промежуток $T$, на котором задана функция $\phi \left(t\right)$, должен быть таким, чтобы область значений функции $\phi \left(t\right)$ совпадала с промежутком $X$, на котором определена функция $f\left(x\right)$;
- функция $\phi \left(t\right)$ должна быть дифференцируемой и строго монотонной на промежутке $T$ для того, чтобы для этой функции существовала однозначная обратная функция, определенная на промежутке $X$.
Отметим, что при вычислении определенных интегралов (ОИ) будем сначала находить соответствующие неопределеные интегралы (НОИ) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница (ФНЛ).
Вычислить ОИ $\int \limits _{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1}\sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx $.
Соответствующий НОИ имеет вид $\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx $. Если бы этот интеграл имел вид $\int \sqrt[{3}]{x} \cdot dx $, то эту задачу можно было бы решить, применив табличный интеграл $\int x^{a} \cdot dx=\frac{x^{a+1} }{a+1} +C,\quad a\ne -1$, поскольку $\int \sqrt[{3}]{x} \cdot dx =\int x^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} } \cdot dx $. Именно поэтому целесообразно ввести новую вспомогательную переменную $t$ посредством применения формулы подстановки $2\cdot x-1=t$, чтобы подынтегральная функция $\sqrt[{3}]{2\cdot x-1} $ приобрела вид $\sqrt[{3}]{t} $. Кроме того, необходимо выразить через новую переменную $t$ также и дифференциал старой переменной $dx$.
Берем дифференциалы от обоих частей равенства $2\cdot x-1=t$ и получаем: $d\left(2\cdot x-1\right)=dt$ или $dx=\frac{1}{2} \cdot dt$. Представляем данный интеграл через новую переменную и получаем:
\[\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\int \sqrt[{3}]{t} \cdot \frac{1}{2} \cdot dt =\frac{1}{2} \cdot \int t^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} } \cdot dt =\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} +1} }{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} +1} +C=\frac{3}{8} \cdot t^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } +C.\]Теперь нужно вернуться к старой переменной, то есть заменить $t$ на $2\cdot x-1$. Получаем: $\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot x-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } +C$.
Применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1}\sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\left[\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot x-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right]_{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1} =\] \[=\left(\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot 1-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right)-\left(\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot \frac{1}{2} -1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right)=\frac{3}{8} .\]Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx $.
Соответствующий НОИ имеет вид $\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx $.
Возможность свести данный интеграл к табличному базируется на том, что дифференциал функции $\sin x$ равен $\cos x\cdot dx$, и именно такая составляющая присутствует в подынтегральном выражении. Поэтому целесообразно ввести новую вспомогательную переменную $t$ посредством применения формулы подстановки $\sin x=t$.
Чтобы выразить $dx$ через новую переменную $t$, берем дифференциалы от обоих частей равенства $\sin x=t$ и получаем: $d\left(\sin x\right)=dt$; $\cos x\cdot dx=dt$.
Выражаем данный интеграл через новую переменную и получаем:
\[\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\int t^{3} \cdot dt =\frac{t^{3+1} }{3+1} +C=\frac{1}{4} \cdot t^{4} +C.\]Возвращаемся к старой переменной:
\[\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\frac{1}{4} \cdot t^{4} +C=\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} x+C.\]Применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\left[\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} x\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } =\left(\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} \frac{\pi }{2} \right)-\left(\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} 0\right)=\frac{1}{4} .\]Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{8}\frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } $.
Соответствующий НОИ имеет вид $\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } $.
Сведение данного интеграла к табличному может быть удачным, если, прежде всего, избавиться от кубических корней. Для этого используем формулу замены переменной $x=t^{3} $. С целью представить подынтегральное выражение через новую переменную $t$ дифференцируем обе части равенства $x=t^{3} $ и получаем $dx=3\cdot t^{2} \cdot dt$, а также учитываем, что $\sqrt[{3}]{x} =\sqrt[{3}]{t^{3} } =t$ и $\sqrt[{3}]{x^{2} } =t^{2} $. Итак, получаем:
\[\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =\int \frac{\sin t\cdot 3\cdot t^{2} \cdot dt}{t^{2} } =3\cdot \int \sin t\cdot dt =-3\cdot \cos t+C.\]Возвращаемся к старой переменной:
\[\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =-3\cdot \cos t+C=-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{x} +C.\]Применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{1}^{8}\frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =\left[-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{x} \right]_{1}^{8} =\] \[=\left(-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{8} \right)-\left(-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{1} \right)=-3\cdot \left(\cos 2-\cos 1\right).\]Интегрирование по частям
Пусть функции $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ дифференцируемы на некотором промежутке $X$ числовой оси, и на этом промежутке существует интеграл $\int v\cdot du $. Найдем дифференциал их произведения: $d\left(u\cdot v\right)=u\cdot dv+v\cdot du$. Отсюда получаем выражение $u\cdot dv=d\left(u\cdot v\right)+v\cdot du$, правую и левую части которого интегрируем. При этом учитываем, что $\int d\left(u\cdot v\right) =u\cdot v+C$. Таким образом, окончательно получаем формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла: $\int u\cdot dv =u\cdot v+\int v\cdot du $, где произвольная постоянная $C$ отнесена к интегралу $\int v\cdot du $.
Интегрирование по частям является целесообразным, если интеграл $\int v\cdot du $ правой части формулы удается сделать более простым или похожим на интеграл $\int u\cdot dv $ левой части формулы. Для этого за $u$ следует брать функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за $v$ -- остальную часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть легко найден. Иногда формулу интегрирования по частям применяют несколько раз подряд.
Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{2}x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx $.
Соответствующий НОИ имеет вид $\int x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx $.
В соответствии с рекомендациями, принимаем $u=\log _{2} x$ и $dv=x^{2} $. Получаем $du=\frac{dx}{x\cdot \ln 2} $, а также $v=\int x^{2} \cdot dx =\frac{x^{3} }{3} $.
Применяем формулу интегрирования по частям:
\[\int x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx =\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\int \frac{x^{3} }{3} \cdot \frac{dx}{x\cdot \ln 2} =\] \[=\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot x^{3} +C.\]Применяем ФНЛ:
\[\int \limits _{1}^{2}x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx =\left[\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot x^{3} \right]_{1}^{2} =\] \[=\left(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} \cdot \log _{2} 2-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot 2^{3} \right)-\left(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} \cdot \log _{2} 1-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot 1^{3} \right)=\] \[=\frac{8}{3} -\frac{8}{9\cdot \ln 2} +\frac{1}{9\cdot \ln 2} =\frac{8}{3} -\frac{7}{9\cdot \ln 2} .\]
