Интегрирование

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Применение новой переменной интегрирования

Во многих случаях применение новой переменной интегрирования позволяет свести данный сложный интеграл к табличному. Такой подход к интегрированию базируется на двух основных формулах:

формула подстановки вида $\phi \left(t\right)=x$ в интеграле $\int f\left(\phi \left(t\right)\right)\cdot d\phi \left(t\right)$ , когда определенным образом подобранная функция $\phi \left(t\right)$ старого аргумента $t$ принимается за новую переменную $x$ ;
формула замены переменной вида $x=\phi \left(t\right)$ в интеграле $\int f\left(x\right)\cdot dx$ , когда старый аргумент $x$ заменяют определенным образом подобранной функцией новой переменной $t$ .

При этом на функцию $\phi \left(t\right)$ накладываются следующие ограничения:

должна иметь смысл композиция функций $f\left(\phi \left(t\right)\right)$ , а для этого промежуток $T$ , на котором задана функция $\phi \left(t\right)$ , должен быть таким, чтобы область значений функции $\phi \left(t\right)$ совпадала с промежутком $X$ , на котором определена функция $f\left(x\right)$ ;
функция $\phi \left(t\right)$ должна быть дифференцируемой и строго монотонной на промежутке $T$ для того, чтобы для этой функции существовала однозначная обратная функция, определенная на промежутке $X$ .

Отметим, что при вычислении определенных интегралов (ОИ) будем сначала находить соответствующие неопределеные интегралы (НОИ) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница (ФНЛ).

Задача 1

Вычислить ОИ $\int \limits _{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1}\sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx$ .

Соответствующий НОИ имеет вид $\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx$ . Если бы этот интеграл имел вид $\int \sqrt[{3}]{x} \cdot dx$ , то эту задачу можно было бы решить, применив табличный интеграл $\int x^{a} \cdot dx=\frac{x^{a+1} }{a+1} +C,\quad a\ne -1$ , поскольку $\int \sqrt[{3}]{x} \cdot dx =\int x^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} } \cdot dx$ . Именно поэтому целесообразно ввести новую вспомогательную переменную $t$ посредством применения формулы подстановки $2\cdot x-1=t$ , чтобы подынтегральная функция $\sqrt[{3}]{2\cdot x-1}$ приобрела вид $\sqrt[{3}]{t}$ . Кроме того, необходимо выразить через новую переменную $t$ также и дифференциал старой переменной $dx$ .

Берем дифференциалы от обоих частей равенства $2\cdot x-1=t$ и получаем: $d\left(2\cdot x-1\right)=dt$ или $dx=\frac{1}{2} \cdot dt$ . Представляем данный интеграл через новую переменную и получаем:

$\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\int \sqrt[{3}]{t} \cdot \frac{1}{2} \cdot dt =\frac{1}{2} \cdot \int t^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} } \cdot dt =\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} +1} }{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} +1} +C=\frac{3}{8} \cdot t^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } +C.$

Теперь нужно вернуться к старой переменной, то есть заменить $t$ на $2\cdot x-1$ . Получаем: $\int \sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot x-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } +C$ .

Применяем ФНЛ:

$\int \limits _{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1}\sqrt[{3}]{2\cdot x-1} \cdot dx =\left[\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot x-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right]_{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2} }^{1} =$

$=\left(\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot 1-1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right)-\left(\frac{3}{8} \cdot \left(2\cdot \frac{1}{2} -1\right)^{{4\mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. } 3} } \right)=\frac{3}{8} .$

«Интегрирование» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Задача 2

Вычислить ОИ $\int \limits _{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx$ .

Соответствующий НОИ имеет вид $\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx$ .

Возможность свести данный интеграл к табличному базируется на том, что дифференциал функции $\sin x$ равен $\cos x\cdot dx$ , и именно такая составляющая присутствует в подынтегральном выражении. Поэтому целесообразно ввести новую вспомогательную переменную $t$ посредством применения формулы подстановки $\sin x=t$ .

Чтобы выразить $dx$ через новую переменную $t$ , берем дифференциалы от обоих частей равенства $\sin x=t$ и получаем: $d\left(\sin x\right)=dt$ ; $\cos x\cdot dx=dt$ .

Выражаем данный интеграл через новую переменную и получаем:

$\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\int t^{3} \cdot dt =\frac{t^{3+1} }{3+1} +C=\frac{1}{4} \cdot t^{4} +C.$

Возвращаемся к старой переменной:

$\int \sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\frac{1}{4} \cdot t^{4} +C=\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} x+C.$

Применяем ФНЛ:

$\int \limits _{0}^{\frac{\pi }{2} }\sin ^{3} x\cdot \cos x\cdot dx =\left[\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} x\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } =\left(\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} \frac{\pi }{2} \right)-\left(\frac{1}{4} \cdot \sin ^{4} 0\right)=\frac{1}{4} .$

Задача 3

Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{8}\frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } }$ .

Соответствующий НОИ имеет вид $\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } }$ .

Сведение данного интеграла к табличному может быть удачным, если, прежде всего, избавиться от кубических корней. Для этого используем формулу замены переменной $x=t^{3}$ . С целью представить подынтегральное выражение через новую переменную $t$ дифференцируем обе части равенства $x=t^{3}$ и получаем $dx=3\cdot t^{2} \cdot dt$ , а также учитываем, что $\sqrt[{3}]{x} =\sqrt[{3}]{t^{3} } =t$ и $\sqrt[{3}]{x^{2} } =t^{2}$ . Итак, получаем:

$\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =\int \frac{\sin t\cdot 3\cdot t^{2} \cdot dt}{t^{2} } =3\cdot \int \sin t\cdot dt =-3\cdot \cos t+C.$

Возвращаемся к старой переменной:

$\int \frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =-3\cdot \cos t+C=-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{x} +C.$

Применяем ФНЛ:

$\int \limits _{1}^{8}\frac{\sin \sqrt[{3}]{x} \cdot dx}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } =\left[-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{x} \right]_{1}^{8} =$

$=\left(-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{8} \right)-\left(-3\cdot \cos \sqrt[{3}]{1} \right)=-3\cdot \left(\cos 2-\cos 1\right).$

Интегрирование по частям

Пусть функции $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ дифференцируемы на некотором промежутке $X$ числовой оси, и на этом промежутке существует интеграл $\int v\cdot du$ . Найдем дифференциал их произведения: $d\left(u\cdot v\right)=u\cdot dv+v\cdot du$ . Отсюда получаем выражение $u\cdot dv=d\left(u\cdot v\right)+v\cdot du$ , правую и левую части которого интегрируем. При этом учитываем, что $\int d\left(u\cdot v\right) =u\cdot v+C$ . Таким образом, окончательно получаем формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла: $\int u\cdot dv =u\cdot v+\int v\cdot du$ , где произвольная постоянная $C$ отнесена к интегралу $\int v\cdot du$ .

Интегрирование по частям является целесообразным, если интеграл $\int v\cdot du$ правой части формулы удается сделать более простым или похожим на интеграл $\int u\cdot dv$ левой части формулы. Для этого за $u$ следует брать функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за $v$ -- остальную часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть легко найден. Иногда формулу интегрирования по частям применяют несколько раз подряд.

Задача 4

Вычислить ОИ $\int \limits _{1}^{2}x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx$ .

Соответствующий НОИ имеет вид $\int x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx$ .

В соответствии с рекомендациями, принимаем $u=\log _{2} x$ и $dv=x^{2}$ . Получаем $du=\frac{dx}{x\cdot \ln 2}$ , а также $v=\int x^{2} \cdot dx =\frac{x^{3} }{3}$ .

Применяем формулу интегрирования по частям:

$\int x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx =\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\int \frac{x^{3} }{3} \cdot \frac{dx}{x\cdot \ln 2} =$

$=\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot x^{3} +C.$

Применяем ФНЛ:

$\int \limits _{1}^{2}x^{2} \cdot \log _{2} x\cdot dx =\left[\frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \log _{2} x-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot x^{3} \right]_{1}^{2} =$

$=\left(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} \cdot \log _{2} 2-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot 2^{3} \right)-\left(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} \cdot \log _{2} 1-\frac{1}{9\cdot \ln 2} \cdot 1^{3} \right)=$