Интегральная сумма
Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$, где $a
интеграл">
Вычислим площадь криволинейной трапеции $ABab$. Для этого отрезок $\left[a,\; b\right]$ разделим на $n$ произвольных частей с помощью точек $x_{0}
Точки разбиения образуют отдельные отрезки разбиения $\left[x_{i-1} ,\; x_{i} \right]$, где $i=1,\; 2,\; \ldots ,\; n$ -- номер отрезка. Длины отрезков разбиения обозначим $\Delta _{i} $, то есть $\Delta _{i} =x_{i} -x_{i-1} $, и найдем число $\lambda =\max \left\{\Delta _{1} ,\; \Delta _{1} ,\; \ldots ,\; \Delta _{n} \right\}$, которое называется диаметром разбиения и представляет собой наибольшую из длин всех отдельных отрезков. Чем меньше диаметр $\lambda $, тем большей считается степень дробления данного $T$-разбиения. В общем случае разные $T$-разбиения данного отрезка $\left[a,\; b\right]$ имеют разные диаметры $\lambda $, то есть $\lambda =\lambda \left(T\right)$ является функцией способа разбиения $T$.
На каждом отдельном отрезке разбиения выберем произвольно по одной точке $x_{i-1} \le \xi _{i} \le x_{i} $. В каждой из выбранных точек вычислим значение функции $f\left(\xi _{i} \right)$ и построим сумму произведений полученных значений на длины соответствующих отрезков разбиения, то есть $\sigma =f\left(\xi _{1} \right)\cdot \Delta _{1} +f\left(\xi _{2} \right)\cdot \Delta _{2} +\ldots +f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} +\ldots +f\left(\xi _{n} \right)\cdot \Delta _{n} $.
Сумма $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} $, где $\Delta _{i} =x_{i} -x_{i-1} $, $x_{i-1} \le \xi _{i} \le x_{i} $ называется интегральной суммой Римана функции $f\left(x\right)$, построенной на отрезке $\left[a,\; b\right]$ для данного $T$-разбиения.
Так как было оговорено, что функция $f\left(x\right)$ -- неотрицательная, то интегральная сумма $\sigma $ равна площади фигуры, образованной из прямоугольников с высотами $f\left(\xi _{i} \right)$ и основаниями $\Delta _{i} $. Таким образом, интегральную сумму можно считать приближенным значением площади той криволинейной трапеции, для которой она была построена.
Определенный интеграл Римана
Решим задачу более точного вычисления площади криволинейной трапеции, построенной для функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$. Очевидно, что это связано со степенью дробления $T$-разбиения данного отрезка $\left[a,\; b\right]$. Чем меньше будет число $\lambda $ выбранного $T$-разбиения, тем уже будут прямоугольники $f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} $, и тем точнее будет значение площади криволинейной трапеции. Кроме того, точность зависит также и от того, насколько удачно выбраны точки $\xi _{i} $ на каждом отдельном отрезке $\Delta _{i} $ в пределах от $x_{i-1} $ до $x_{i} $. Но и в этом случае можно утверждать, что при уменьшении $\lambda $, когда соседние точки разбиения $x_{i-1} $ и $x_{i} $ неограниченно сближаются, неоднозначность выбора точек $\xi _{i} $ также неограниченно уменьшается до нуля.
Теперь можно сформулировать, что собой представляет определенный интеграл.
Пусть интегральная сумма Римана $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} $ построена для функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$. Предел этой интегральной суммы, который достигается при неограниченном возрастании степени дробления $T$-разбиения данного отрезка $\left[a,\; b\right]$, то есть при $\lambda \left(T\right)\to 0$, называется определенным интегралом Римана от функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ и обозначается $I=\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $.
Соответствующая математическая запись имеет вид $I=\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{\lambda \left(T\right)\to 0} \; \sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} $. Здесь отрезок $\left[a,\; b\right]$ называется отрезком интегрирования, а его концы называются нижним $\left(a\right)$ и верхним $\left(b\right)$ пределами интегрирования.
Как и любой другой предел, определенный интеграл может быть конечным, бесконечным (принимать значения $\infty $, $+\infty $ или $-\infty $) или не существовать вообще. Если определенный интеграл $I=\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ от функции $y=f\left(x\right)$ существует, то такая функция называется интегрируемой на отрезке $\left[a,\; b\right]$.
Условия интегрируемости функций по Риману
- Если функция $y=f\left(x\right)$ интегрируема на некотором отрезке $\left[a,\; b\right]$, то она ограничена на нем. Это условие является только необходимым, но не является достаточным. Примером может быть функция Дирихле, которая ограничена, но не интегрируема на любом отрезке. Действительно, если при произвольном $T$-разбиении на отдельных отрезках выбирать только рациональные точки $\xi _{i} $, для которых $f\left(\xi _{i} \right)=1$, то $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} =\sum \limits _{i=1}^{n}\Delta _{i} =b-a$, а если выбирать только иррациональные точки $\xi _{i} $, для которых $f\left(\xi _{i} \right)=0$, то $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} \right)\cdot \Delta _{i} =0$. Следовательно, интегральная сумма функции Дирихле не имеет предела при $\lambda \left(T\right)\to 0$.
- Если функция $y=f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то она интегрируема на нем. Данное условие является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не значит, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций, о чем свидетельствует следующее условие.
- Если функция $y=f\left(x\right)$ монотонна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то она интегрируема на нем. Это условие разрешает существование разрывных интегрируемых функций. Действительно, функция $y=signx$ является интегрируемой на любом отрезке, поскольку она монотонна. Но, в то же время, она является разрывной на любом отрезке, содержащем точку $x=0$.
