Квадрат суммы нескольких слагаемых

${({3а}^2+5)}^2$

Решение: воспользуемся алгоритмом нахождения квадрата суммы двух выражений

1.Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

\[{(3а^2)}^2=3^2\cdot {(a^2)}^2=9a^4\]\[5^2=25\]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

\[2\cdot 3a\cdot 5=30a\]

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

\[{({3а}^2+5)}^2=9a^4+30a+25\]

Преобразовать $\ {({2а}^2+3a+5)}^2$

Решение: Сгруппируем второе и третье слагаемое многочлена, тогда получим выражение:$\ {({2а}^2+(3a+5))}^2$

Теперь для преобразования нам уже надо возвести в квадрат суммы двух выражений, а не трех, как было в исходном задании. Воспользуемся алгоритмом

1.Возвести первое и второе слагаемое в квадрат.

\[{{(2а}^2)}^2=2^2\cdot ({a^2)}^2=4a^4\]\[{(3a+5)}^2=9a^2+30a+25\]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

$2\cdot {2а}^2\cdot \left(3a+5\right)=4а^2\cdot \left(3a+5\right)=4а^2\cdot 3a+4а^2\cdot 5=12а^3+20а^2$

В данных преобразованиях был применен прием умножения одночлена на число и умножение одночлена на многочлен.

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

\[{({2а}^2+(3a+5))}^2=4a^4+ 12а^3+20а^2+9a^2+30a+25\]

Тогда в итоге получим:

\[{({2а}^2+3a+5)}^2=4a^4+9a^2+25+12а^3+20а^2+30a\]

Проанализируем полученный результат сопоставив каждый член полученного многочлена с исходными.

\[4a^4={{(2а}^2)}^2 9a^2={(3a)}^2 \ \ \ 25=5^2 12а^3=2* {2а}^2*3a\] \[20а^2=2\cdot {2а}^2\cdot 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30a=2\cdot 3a\cdot 5\]

Значит полученный результат мы можем записать в виде:

\[{\left({2а}^2+3a+5\right)}^2={{(2а}^2)}^2+{\left(3a\right)}^2+5^2+2\cdot {2а}^2\cdot 3a+2\cdot {2а}^2\cdot 5+2\cdot 3a\cdot 5\]

Отсюда выведем формулу для возведения в квадрат суммы трех слагаемых. Математическая запись будет выглядеть так:

${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2\textit{ac}+2 \textit{bc}$

Т.е квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов данных выражений плюс удвоенные попарные произведения этих слагаемых

Сформулируем алгоритм возведения в квадрат суммы трех слагаемых:

1.Возвести в квадрат каждое слагаемое, входящее в состав исходного многочлена

2.Найти попарные произведения всех слагаемых

3.Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

Преобразовать $\ {({8x}^2+7y+5z)}^2$

Решение: Воспользуемся алгоритмом возведения в квадрат суммы трех слагаемых

Возведем в квадрат каждый одночлен, входящий в состав исходного многочлена

\[{{(8x}^2)}^2={64x}^4\]\[({7y)}^2=49y^4\] \[{(5z)}^2={25z}^2\]

Обратите внимание, что для того чтобы возвести в квадрат мы воспользовались свойствами степеней:

1) возведением произведения в степень $при$

возведения в степень произведения $и$

переменную возводили в квадрат

2) возведение степени в степень ${{(a}^n)}^m=a^{n\cdot m}$- т.е. при возведении степени в степень основание остается, а показатели перемножаются. Поэтому =$x^4$

Найдем попарные произведения всех слагаемых

Первого и второго: $2\cdot {8x}^2\cdot 7y=112x^2y$

Первого и третьего: $2\cdot {8x}^2\cdot 5z={80x}^2z$

Второго и третьего: $2\cdot 7y\cdot 5z= 70yz$

Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

${({8x}^2+7y+5z)}^2={{(8x}^2)}^2+({7y)}^2+{\left(5z\right)}^2+2\cdot {8x}^2\cdot 7y+2\cdot {8x}^2\cdot 5z+2\cdot 7y\cdot 5z={64x}^4+49y^4+{25z}^2+112x^2y +{80x}^2z+70yz$