Метод Симпсона

В случае с методом Симпсона для вычисления интегралов в отличие от метода прямоугольников и метода трапеций, функция кривой $y=f(x)$ на элементарных отрезках $\left[x_{i-1};x_i\right]$ заменяется не отрезками прямых, а дугами парабол, в результате получается более точная формула для приближённого вычисления интеграла $\int_a^b f(x)dx$.

Вывод формулы Симпсона

Для начала рассмотрим, как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией $y=ax^2+bx+c$, по бокам прямыми, параллельными оси ординат $x=-h$, $x=h$, а снизу отрезком, параллельным оси абсцисс.

Рисунок 1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Парабола проходит через три точки $M_1, M_2$ и $M_3$ c координатами соответственно $(-h; y_0), (0; y_1)$ и $(h;y_2)$. При этом функция $y$ в точке $(-h; y_0)$ будет равна $y_0=ah^2-bh+c$, в точке $(0; y_1)$ она равна $y_1=c$, так как $x=0$, а в точке $(h;y_2)$ она имеет значение $y_2= ah^2+bh+c$.

Соответственно, площадь $S$ равна:

$\int_{-h}^h (ax^2 + bx + c)dx=(a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2}+cx)|^h_{-h}=\frac{2}{3}ah^3+2ch\left(1\right).$

Из формул, описывающих значения функций в рассматриваемых точках, получаем, что $c=y_1, a =\frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)$. Подставим эти значения в выражение $(1)$, получим:

$S=\frac{2}{3}h^3 \cdot \frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)+2hy_1= \frac{h}{3}(y_0-2y_1+y_2) + 2hy_1 = \frac{h}{3} \cdot (y_0 + 4y_1+y_2)\left(2\right)$

Полученная формула является формулой для вычисления площади криволинейной трапеции. Перейдём от неё к формуле парабол для приближённого вычисления определённого интеграла.

Сначала разобьём отрезок $\left[a;b\right]$ на $2n$ равных отрезков длиной $h=\frac{b-a}{2n}$, для этого отложим точки $x_i=x_0+ih, (i=0...2n)$, причём $x_0=a$, a $x_{2n}=b$. Получим $2n$ элементарных трапеций (рис. 2). В каждой из этих точек с абсциссой $x_i$ вычисляем значение функции $y$.

Рисунок 2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями, по методу Симпсона

Теперь перейдём от элементарных трапеций к формуле Cимпсона для вычисления интеграла. Для этого каждую пару элементарных криволинейных трапеций, основания у которых равны $h$, заменяем на одну трапецию с основанием $2h$. Рассматриваем кривую $y=f(x)$ на отрезке $\left[x_0;x_2\right]$, она проходит через 3 точки с координатами $(x_0;y_0), (x_1;y_1), (x_2;y_2)$. Подставим их в формулу $(2)$:

$S_1=\int^{x_2}_{x_0} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1+y_2)$.

Аналогично находим все остальные площади:

$S_n=\int^{x_{2n}}_{x_{2n-2}} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_{2n-2}+ 4y_{2n-1}+y_{2n})$.

Теперь складываем полученные равенства и получаем:

Полученная формула носит название метода парабол или иначе формула Симпсона.

Оценка погрешности при использовании метода парабол

Погрешность для метода парабол вычисляется по формуле:

Формула Симпсона даёт точное значение для всех функций, в которых максимальная степень при $x$ меньше или равна $3$, так как четвёртая производная в этом случае равна нулю.

Нахождение определённого интеграла не всегда удобно из-за трудности вычисления $M_4$, поэтому при возникновении сложностей пользуются методом трапеций.