Метод непосредственного интегрирования: примеры решения

Найдите первообразную от $f(x) = 8 x^2 – 5x + 7$.

Решение:

Итак, начнём. Данная функция имеет в себе суммы и разности, а значит, интеграл от неё можно разложить:

$\int ( 8 x^2 – 5x + 7)dx = \int 8 x^2 dx - \int 5x dx + \int 7dx$.

Вынесем множители за знак интеграла. После этого всё решение сводится к использованию табличных значений:

$\int 8 x^2 dx - \int 5x dx + 7 \int 7dx = 8 \cdot \int x^2 dx - 5 \cdot \int x dx + 7 \int dx = \frac83 \cdot x^3 - \frac52 \cdot x^2 + 7x + C$.

Вычислить первообразную от функции $y=-\frac{\cos x}{3}$:

Ответ: $\int -\frac{\cos x}{3} = -\frac13 \int \cos x = -\frac13 \sin x + C$.

Вычислите следующее выражение: $\int (2x^2 + 1)^3 dx$.

Решение:

$\int (2x^2 + 1)^3 dx = \int (8x^6 + 12 x^4 + 6x^2 + 1) dx = \frac87 x^7 + \frac{12}{5} x^5 + 2x^3 + x + C$.

Очередной пример на нахождение интеграла: $\int \frac{(x - \sqrt {x})(1 + \sqrt{x})}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx$.

Решение:

$\int \frac{(x - \sqrt {x})(1 + \sqrt{x})}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx= \int \frac{x \sqrt{x}- \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} dx = \int x^{\frac76}dx - \int x^{\frac16}dx = \frac{6}{13} x^{\frac{13}{6}} - \frac67 x^{\frac76} + C$