Метод непосредственного интегрирования заключается в применении простейших правил интегрирования, например, в применении табличных формул для раскрытия интегралов и правил, перечисленных сразу после таблицы.
Рисунок 1. Табличные интегралы для непосредственного интегрирования. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Несколько основных правил, которые нужно помнить, вычисляя интеграл:
- Множитель-константу в подынтегральном выражении можно вынести перед знаком интегрирования;
- Интеграл суммы или разности нескольких функций равен сумме (разности) интегралов этих функций.
Найдите первообразную от $f(x) = 8 x^2 – 5x + 7$.
Решение:
Итак, начнём. Данная функция имеет в себе суммы и разности, а значит, интеграл от неё можно разложить:
$\int ( 8 x^2 – 5x + 7)dx = \int 8 x^2 dx - \int 5x dx + \int 7dx$.
Вынесем множители за знак интеграла. После этого всё решение сводится к использованию табличных значений:
$\int 8 x^2 dx - \int 5x dx + 7 \int 7dx = 8 \cdot \int x^2 dx - 5 \cdot \int x dx + 7 \int dx = \frac83 \cdot x^3 - \frac52 \cdot x^2 + 7x + C$.
Вычислить первообразную от функции $y=-\frac{\cos x}{3}$:
Ответ: $ \int -\frac{\cos x}{3} = -\frac13 \int \cos x = -\frac13 \sin x + C$.
Вычислите следующее выражение: $\int (2x^2 + 1)^3 dx$.
Решение:
$\int (2x^2 + 1)^3 dx = \int (8x^6 + 12 x^4 + 6x^2 + 1) dx = \frac87 x^7 + \frac{12}{5} x^5 + 2x^3 + x + C$.
Очередной пример на нахождение интеграла: $\int \frac{(x - \sqrt {x})(1 + \sqrt{x})}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx$.
Решение:
$\int \frac{(x - \sqrt {x})(1 + \sqrt{x})}{\sqrt[3]{x}} \cdot dx= \int \frac{x \sqrt{x}- \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} dx = \int x^{\frac76}dx - \int x^{\frac16}dx = \frac{6}{13} x^{\frac{13}{6}} - \frac67 x^{\frac76} + C$
