Ранг матрицы
Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.
Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы A=(aij)m×n называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.
Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.
Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.
Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: rangA, rgA, rankA.
Ранг матрицы обладает следующими свойствами:
- Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
- Ранг прямоугольной матрицы порядка m×n не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. 0≤rang≤min(m,n).
- Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
- Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.
Существует два способа нахождения ранга матрицы:
- окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
- посредством элементарных преобразований.
Алгоритм метода окантовки включает следующее:
- В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
- В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
- В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка k и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка k+1. Если все миноры порядка k+1 является равными нулю, то ранг матрицы равен k.
Как определить ранг матрицы: примеры
Определить ранг матрицы A=(−214103123).
Решение:
Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.
Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, M1=|−2|=−2. Рассмотрим миноры второго порядка.
M2=|−2110|=−2⋅0−1⋅1=0−1=−1≠0
Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.
M3=|−214103123|=−2⋅0⋅3+1⋅3⋅1+1⋅2⋅4−1⋅0⋅4−1⋅1⋅3−2⋅3⋅(−2)=3+8−0−3+12=20≠0
Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.
Определить ранг матрицы A=(12301012342314500000).
Решение:
Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).
Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, M1=|1|=1. Рассмотрим миноры второго порядка.
M2=|1201|=1⋅1−0⋅2=1−0=1≠0
Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.
M3=|123012231|=1⋅1⋅1+2⋅2⋅2+0⋅3⋅3−2⋅1⋅3−0⋅1⋅2−2⋅3⋅1=1+8+0−6−0−6=−3≠0
Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.
M4=|1230012323140000|=0 (содержит нулевую строку)
M5=|1231012423150000|=0 (содержит нулевую строку)
Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.
Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.
Определить ранг матрицы A=(−214103123).
Решение:
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:
A=(−214103123)∼(103−214123)
Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:
(103−214123)∼(1030110123)
Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:
(1030110123)∼(1030110020)
Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:
(1030110020)∼(103011000−20)
(103011000−20) - матрица ступенчатого вида
Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, rang=3.