Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Ранг матрицы

Ранг матрицы

Определение 1

Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы A=(aij)m×n называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: rangA, rgA, rankA.

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

  1. Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
  2. Ранг прямоугольной матрицы порядка m×n не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. 0rangmin(m,n).
  3. Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
  4. Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

Существует два способа нахождения ранга матрицы:

  • окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
  • посредством элементарных преобразований.

Алгоритм метода окантовки включает следующее:

  1. В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
  2. В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
  3. В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка k и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка k+1. Если все миноры порядка k+1 является равными нулю, то ранг матрицы равен k.
«Ранг матрицы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Как определить ранг матрицы: примеры

Пример 1

Определить ранг матрицы A=(214103123).

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, M1=|2|=2. Рассмотрим миноры второго порядка.

M2=|2110|=2011=01=10

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

M3=|214103123|=203+131+12410411323(2)=3+803+12=200

Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Пример 2

Определить ранг матрицы A=(12301012342314500000).

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, M1=|1|=1. Рассмотрим миноры второго порядка.

M2=|1201|=1102=10=10

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

M3=|123012231|=111+222+033213012231=1+8+0606=30

Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

M4=|1230012323140000|=0 (содержит нулевую строку)

M5=|1231012423150000|=0 (содержит нулевую строку)

Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

Пример 3

Определить ранг матрицы A=(214103123).

Решение:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

A=(214103123)(103214123)

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

(103214123)(1030110123)

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

(1030110123)(1030110020)

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

(1030110020)(10301100020)

(10301100020) - матрица ступенчатого вида

Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, rang=3.

Дата последнего обновления статьи: 18.11.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Ранг матрицы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant