Действия над матрицами

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Две матрицы имеют одинаковый порядок (размерность), если число строк и столбцов одной из матриц совпадает с числом строк и столбцов другой матрицы соответственно.

Пример 1

Матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {-2} & {0} \\ {4} & {-2} & {1} \end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{ccc} {10} & {-2} & {0} \\ {-4} & {-2} & {1} \end{array}\right)$ являются матрицами одинаковой размерности, так как число строк каждой матрицы равно 2, а число столбцов -- 3.

Над матрицами одинаковой размерности можно выполнять операции сложения и вычитания.

Определение 2

Суммой матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $B=\left(b_{ij} \right)_{m\times n}$ называется матрица $C=\left(c_{ij} \right)$ той же размерности, причем ее элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов исходных матриц: $c_{ij} =a_{ij} +b_{ij}$ .

Сумма матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $B=\left(b_{ij} \right)_{m\times n}$ обозначается как $A+B$ .

Пример 2

Даны матрицы:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {12} & {-1} \\ {-3} & {5} \end{array}\right)$ ; 2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {3} \\ {-12} & {5} & {3} \end{array}\right)$ .

Найти сумму матриц.

Решение:

1) $A+B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} {12} & {-1} \\ {-3} & {5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {2+12} & {-1+(-1)} \\ {3+(-3)} & {1+5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {14} & {-2} \\ {0} & {6} \end{array}\right)$

2) Операцию сложения матриц выполнить нельзя, так как исходные матрицы имеют разную размерность.

Определение 3

Противоположной матрицей для матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ называется матрица, которая обозначается $-A=\left(-a_{ij} \right)_{m\times n}$ и имеет элементы, противоположные соответственно элементам исходной матрицы.

«Действия над матрицами» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Свойства сложения матриц:

$A+B=B+A$ (коммутативный закон сложения);
$(A+B)+C=A+(B+C)$ (ассоциативный закон сложения);
$A+0=0+A=A$ ;
$A+(-A)=(-A)+A=0$ .

Определение 4

Разность матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $B=\left(b_{ij} \right)_{m\times n}$ называется матрица $C=\left(c_{ij} \right)$ той же размерности, причем ее элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $-B=\left(-b_{ij} \right)_{m\times n}$ : $c_{ij} =a_{ij} +(-b_{ij} )$ .

Разность матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $B=\left(b_{ij} \right)_{m\times n}$ обозначается как $A-B$ .

Пример 3

Даны матрицы:

Найти разность матриц.

Решение:

1) $A-B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {12} & {-1} \\ {-3} & {5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {2+(-12)} & {-1+(-(-1))} \\ {3+(-(-3))} & {1+(-5)} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {2-12} & {-1+1} \\ {3+3} & {1-5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {-10} & {0} \\ {6} & {-4} \end{array}\right)$

2) Операцию вычитания матриц выполнить нельзя, так как исходные матрицы имеют разную размерность.

Определение 5

Произведением матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и числа $k$ называется матрица $C=\left(c_{ij} \right)$ той же размерности, что и матрица $A$ , причем ее элементы вычисляются как произведение соответствующих элементов матрицы $A$ на данное число: $c_{ij} =k\cdot a_{ij}$ .

Произведение матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и числа $k$ обозначается как $k\cdot A$ .

Свойства операции произведения матрицы на число:

$1\cdot A=A$ ;
$0\cdot A=0$ ;
$k\cdot (l\cdot A)=(k\cdot l)\cdot A$ ;
$(k+l)\cdot A=k\cdot A+l\cdot A$ ;
$k\cdot (A+B)=k\cdot A+k\cdot B$ .

Пример 4

Даны матрица и число: $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right),k=3$ . Найти произведение матрицы на число.

Решение:

$3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {3\cdot 2} & {3\cdot (-1)} \\ {3\cdot 3} & {3\cdot 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {6} & {-3} \\ {9} & {3} \end{array}\right)$

Над двумя матрицами можно выполнять операцию умножения матриц, если число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице.

Определение 6

Произведением двух матриц $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $B=\left(b_{ij} \right)_{n\times k}$ называется такая матрица $C=\left(c_{ij} \right)_{m\times k}$ , все элементы которой находятся следующим образом: сумма попарных произведения элементов $i$ -й строки матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ и $j$ -го столбца матрицы $B=\left(b_{ij} \right)_{n\times k}$ .

Свойства произведения двух матриц:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ ;
$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ ;
$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ ;
$A\cdot E=E\cdot A=A$ ;
$(A\cdot B)^{T} =A^{T} \cdot B^{T}$ .

Замечание

Операция умножения матриц не коммутативна, т.е. $A\cdot B\ne B\cdot A$ .

В частном случае, если операция умножения матриц становится коммутативной, то матрицы, участвующие в операции, называются перестановочными.

Пример 5

Даны матрицы:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$ ; 2) $A=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$ ; 3) $A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$ .

Найти произведение матриц: 1) $A\cdot B$ ; 2) $A\cdot B$ , $B\cdot A$ ; 3) $A\cdot B$ .

Решение:

1) $\begin{array}{l} {A\cdot B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2\cdot 1+(-1)\cdot 0} & {2\cdot 2+(-1)\cdot 1} & {2\cdot 1+(-1)\cdot 1} \\ {3\cdot 1+1\cdot 0} & {3\cdot 2+1\cdot 1} & {3\cdot 1+1\cdot 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2+0} & {4-1} & {2-1} \\ {3+0} & {6+1} & {3+1} \end{array}\right)=} \\ {=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {3} & {1} \\ {3} & {7} & {4} \end{array}\right)} \end{array}$

2) Операцию умножения матриц $A\cdot B$ выполнить нельзя, так как число столбцов в матрице А (1) не совпадает с числом строк в матрице В (2).

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 2} \\ {0\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1+0+2} \\ {0+0+2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)$

(при умножении на вектор-столбец получаем вектор-столбец)

3) $\begin{array}{l} {A\cdot B=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {3\cdot 1+(-2)\cdot 0} & {3\cdot 2+(-2)\cdot 1} & {3\cdot 1+(-2)\cdot 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {3+0} & {6-2} & {3-2} \end{array}\right)=} \\ {=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {4} & {1} \end{array}\right)} \end{array}$