Исторический экскурс
Линейная алгебра – это раздел математики, который изучает разнообразные системы и структуры линейной природы. В качестве таких объектов выделяют: линейные уравнения и пространства, отображения, векторы и иное.
Так исторически заложено, что первым предметом линейной алгебры были линейные уравнения, а с построением системы уравнений использоваться стали иные инструменты, такие как матрицы и определители, тем самым появились теории векторных пространств.
После того как Декарт и Ферма разработали систему координат, линейные уравнения стали естественным предметом изучения, наравне с уравнением прямых и плоскостей. Так в 1833 году Гамильтон в своем исследовании представил комплексные числа в виде двухмерного векторного пространства, также ему принадлежит честь открытия кватернионов и введения понятия «вектор».
Теория матриц была разработана в 1850-х годах Кэли.
Система линейных уравнений в матрично-векторном представлении была впервые отражена в трудах Лагерра (1867). Грассман в трудах 1844 и 1862 годов изучал разделы алгебры, а его формальное изложение стало прототипом первой аксиоматической теории алгебраических систем.
В работах Пеано 1888 года были сформулированы аксиомы линейного пространства.
Теоретический экскурс
Разделы линейной алгебры направлены на изучение векторных пространств и функций, которые могут отображать одно векторное пространство в другом. Основу ее составляют линейные и нелинейные функции, но не менее важными являются понятия «вектор» и «векторное пространство».
В учебниках курса линейной алгебры приведены абстрактные определения векторного пространства, потому как оно представляет собой аддитивно записанную абелеву группу с определенным умножением на скаляры, которые удовлетворяют четырем аксиомам.
Вектор является направленным отрезком, а множество направленных отрезков составляет векторное пространство.
Раздел линейной алгебры «Многочлены» изучает их сложение друг с другом и умножение на число. При этом операции сложения многочленов и умножения их на число, с точки зрения алгебры, осуществляются по тем же правилам, что и правила сложения и умножения направленных отрезков. Поэтому множество многочленов можно считать векторным пространством, а сами многочлены – векторами.
Потому как многочлены схожи с векторами, то они должны обладать координатами (для вектора характерны две координаты, а для вектора в пространстве – три). Линейная алгебра определяет размерность как максимальное число линейно независимых векторов. Векторы $х_1, х_2, … х_n$ называются линейно зависимыми, если найдутся числа $а_1, а_2, … а_n$, из которых хотя бы одно не равно нулю, так чтобы выполнялось равенство:
$а_1х_1 + а_2х_2 + … + а_nx_n = 0$
Если векторы не выполняют условие линейно зависимых, то они относятся к линейно независимым.
Понятие линейной зависимости обобщено понятиями параллельных и компланарных векторов.
Два вектора являются линейно зависимыми, когда они параллельны. Три вектора являются линейно зависимыми, когда они компланарны.
Размерность пространства может быть как конечной, то есть пространство многочленов степени не выше $N$, а также бесконечной, то есть пространство всех многочленов. Оба случая могут быть применены на практике, но, как правило, в алгебре ограничиваются конечноразмерными пространствами.
Пусть имеются линейно зависимые векторы $х_1, х_2, … х_n$ и $n$ – размерность пространства. Тогда любой из векторов $х$ может быть записан в виде линейной комбинации $х_1, х_2, … х_n$ естественным способом. Коэффициенты, которые соответствуют линейной комбинации имеют название координат.
После введения основных понятий можно говорить о расширении фундаментальной линейной алгебры через понятия линейной комбинации и линейной зависимости.
В n-мерном линейном пространстве не может существовать более, чем n линейно зависимых векторов. Данный факт относится к краеугольным проблемам линейной алгебры.
Полезность линейной алгебры обусловлена практичностью динамических таблиц, которые позволяют решить любую задачу из реального мира. Сила линейной алгебры состоит в удобстве системы обозначения, позволяющей привести табличные вычисления в обычные математические уравнения.
