Действия над комплексными числами

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

сложение;
вычитание;
умножение;
деление;
возведение комплексного числа в степень;
извлечение корня $n$--й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Определение 1

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть;
$b$ - мнимая часть.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Определение 3

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Примечание 1

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.

«Действия над комплексными числами» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.\]

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.\]

Пример 1

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2} $2) $z_{1} -z_{2} $ для заданных комплексных чисел $z_{1} =2+4i$ и $z_{2} =1-3i$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)+(1-3i)=(2+1)+(4-3)i=3+i\]

2) По определению имеем: $z_{1} -z_{2} =(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)-(1-3i)=(2-1)-(4+3)i=1-7i.\]

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Пример 2

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =2-2i$.

Решение:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

\[z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (2-2i)=\]

\[1\cdot 2+3\cdot 2i+1\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)=2+6i-2i-6i^{2} =2+4i+6=8+4i\]

Пример 3

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =\left(3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)\cdot \left(2\cdot (\cos \pi +i \cdot \sin \pi )\right)=6\cdot \sqrt{3} \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)\right]=} \\ {=6\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)} \end{array}\]

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i \sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].\]

Примечание 2

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

представить запись операции деления в виде дроби;
числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 4

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =2+i$ и $z_{2} =1-i$.

Решение:

Для исходных чисел получаем:

\[\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{2+i}{1-i} =\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{2+i+2i+i^{2} }{1^{2} -i^{2} } =\frac{2+3i-1}{1+1} =\frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} +\frac{3}{2} i\]

Пример 5

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)$ и $z_{2} =2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.

Решение:

По определению имеем: $z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)\div \left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)=\frac{3}{2} \cdot \left[\cos \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)\right]=} \\ {= \frac{3}{2} \cdot \left(\cos \left(-\frac{4\pi }{3} \right)+i\cdot \sin \left(-\frac{4\pi }{3} \right)\right)} \end{array}\]

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Пример 6

Выполнить действие $z^{3} $, где $z=3\cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{3} =3^{3} \cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=27\cdot \left(\cos \frac {3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).\]

Пример 7

Выполнить действие $z^{100} $, где $z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{100} =1^{100} \cdot \left(\cos \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=1\cdot \left(\cos 50\pi +i\cdot \sin 50\pi \right)=1\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right).\]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Пример 8

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024