Классическое определение вероятности не всегда пригодно для изучение случайных событий. Это объясняется тем, реальные события не обязательно равновозможны. Например, игральный кубик невозможно изготовить абсолютно однородным и симметричным. Огнетушители должны срабатывать значительно чаще, чем не срабатывать. Поэтому используют статистическое определение вероятности.
Статистическое определение вероятности
Пусть в некоторой серии из $n$ испытаний случайное событие $A$ происходит $m$ раз. Постоянная величина $P\left(A\right)$, к которой стремится относительная частота $\frac{m}{n} $ при неограниченном увеличении количества испытаний $n$, называется статистической вероятностью события $A$, то есть $P\left(A\right)=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{m}{n} $.
Поскольку обеспечить $n\to \infty $ практически нереально, то относительную частоту $\frac{m}{n} $ называют эмпирической оценкой вероятности $P\left(A\right)$ события $A$.
Например, чтобы узнать, какова вероятность изготовления качественного прибора на данном рабочем месте, проверяют определенную партию приборов. Предположим, что при оценке партии из 400 приборов 380 оказались качественными. Относительная частота $\frac{380}{400} =0,95$ является эмпирической оценкой вероятности изготовления качественного прибора на данном рабочем месте.
Геометрические вероятности
В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновероятных исходов. На практике же очень часто встречаются испытания с их бесконечным числом. Здесь классическое определение вероятности неприменимо. Поэтому вводят понятие вероятности геометрического представления, то есть вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть в область $D$ бросается наудачу точка. При этом брошенная точка может попасть в любую точку области $D$.
Вероятность попасть в какую-либо часть области $D$ пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, если $d$ $-$ часть области $D$, то вероятность попадания в область $d$ по определению равна $P\left(d\right)=\frac{мера\left(d\right)}{мера\left(D\right)} $.
При этом считается, что попадание точки в область $D$ -- достоверное событие, а попадание в $d$ -- случайное.
В круг радиуса $R$ наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что это точка окажется:
а) внутри,
b) вне вписанного в круг правильного треугольника.
Вероятность попадания в область правильного треугольника ($d$), вписанного в круг ($D$), по геометрическому определению вероятности равна:
\[P\left(d\right)=\frac{мера\left(d\right)}{мера\left(D\right)} =\frac{S_{\Delta } }{S_{{\rm O} } } =\frac{3\cdot R^{2} \cdot \sqrt{3} /4}{\pi \cdot R^{2} } =\frac{3\cdot \sqrt{3} }{4\cdot \pi } \approx 0,41. \]В этом случае вероятность не попасть в область треугольника, как вероятность противоположного события, равна:
\[p=1-P\left(d\right)\approx 1-0,41=0,59.\]Восемь различных папок расставляются случайным образом на одном стеллаже. Найти вероятность того, что две определенные папки окажутся поставленными рядом.
Пусть событие $A$ -- две определённые папки оказались рядом на соседних позициях. Вероятность этого события $P(A)$ -- отношения числа благоприятных исходов $N1$ к общему числу исходов $N2$.
Общее число исходов -- это количество всех возможных перестановок папок. Так как число перестановок из n элементов равно $n!$, то $N2$ = $8!$
Рассматриваем число благоприятных исходов.
Пусть две определённые папки занимают в расстановке книг первые две позиции, то есть схема расстановки имеет вид: 1 2 3 4 5 6 7 8.
На первых двух позициях папки можно расположить 2! способами. На остальных шести позициях папки можно расположить 6! способами. Таким образом, такая схема расстановка папок может быть осуществлена $2!•6!$ способами.
Теперь сдвинем две наши определённые папки на одну правее и получим вторую схему расстановки папок: 1 2 3 4 5 6 7 8. Очевидно, что и такая схема расстановка папок может быть осуществлена $2!•6!$ способами.
Всего возможно семь вариантов схем расстановки папок: 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678.
Таким образом, число благоприятных исходов расстановки папок $N1=7•2!•6!$
Искомая вероятность $P\left(A\right)=\frac{N_{1} }{N_{2} } =\frac{7\cdot 2!\cdot 6!}{8!} =\frac{7\cdot 2}{7\cdot 8} =\frac{1}{4} $.
Какова вероятность того, что два определенных стажера будут посланы на стажировку в Липецк, если предоставлено 6 мест в г. Липецк, 10 -- в г. Армавир и 4 -- в г. Тулу?
Пусть событие $A$ -- двум определенным стажерам достались места для прохождения практики в Липецке. Так как мест в Липецк предоставлено шесть, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию $A$, вычисляется как число сочетаний из шести элементов по два: $C_{6}^{2} =\frac{6!}{2!\cdot \left(6-2\right)!} =\frac{6!}{2!\cdot 4!} =\frac{5\cdot 6}{2} =15$.
Два любых места практики можно выбрать из общего их числа, равного $6+10+4=20$, количеством способов, вычисляемым как число сочетаний из двадцати элементов по два: $C_{20}^{2} =\frac{20!}{2!\cdot \left(20-2\right)!} =\frac{20!}{2!\cdot 18!} =\frac{19\cdot 20}{2} =190$.
Таким образом, искомая вероятность $P\left(A\right)=\frac{C_{6}^{2} }{C_{20}^{2} } =\frac{15}{190} =\frac{3}{38} $.
В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них -- 1-го сорта, 120 -- 2-го, а остальные -- 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Для решения задачи используем правило суммы, которое формулируется следующим образом: если элемент $A1$ может быть выбран $n_1$ способами, элемент $A2$ -- другими $n_2$ способами, то выбор одного из элементов или $A1$, или $A2$ может быть осуществлен $n_1$+$n_2$способами.
В соответствии с условием задачи деталь первого сорта может быть извлечена $n1$=$150$ способами, а деталь второго сорта может быть извлечена $n_2$=$120$ способами. Таким образом, существует $n_1$+$n_2$=$150$+$120$=$270$ способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта.
В цехе работает 27 станков одинаковой производи- тельности. Из них: 8 -- марки A; 7 -- марки B; 12 -- марки C. Вероятность того, что качество детали окажется хорошим, равна соответственно 0.81, 0.94, 0.87. Какой процент хороших деталей выпускает цех?
Цех выпускает в единицу времени $N$=$8$+$7$+$12$=$27$ деталей. При этом станки марки A выпускают 8•0,81 деталей хорошего качества, станки марки B выпускают 7•0,94 деталей хорошего качества, станки марки C выпускают 12•0,87 деталей хорошего качества. Всего в единицу времени выпускается $M$=$8•0,81$+$7•0,94$+$12•0,87$ деталей хорошего качества.
Получаем:
$M$=$23,56$; процент хороших деталей $k=\frac{23,56}{27} \cdot 100\% =87,25\% $.
