Для начала вспомним, что из себя представляет натуральный логарифм числа х.
Натуральный логарифм — это логарифм, основанием которого является число е, иначе называемое числом Эйлера и приблизительно равное 2,71.
В десятичном же логарифме основанием является число 10.
Интеграл от натурального логарифма не является обычным табличным интегралом, поэтому для того чтобы узнать, чему равна первообразная от сложной функции lnx, необходимо воспользоваться формулой для частичного интегрирования, напомним её:
∫udv=uv−∫vdu(1).
Зная эту формулу, её можно применить для интегрирования функции y=lnx:
Пусть dx=du, тогда в качестве произведения uv имеем xlnx, а в качестве второго члена выражения имеем ∫xdlnx.
∫lnxdx=x⋅lnx−∫xdlnx=x⋅lnx−∫dx=xlnx+x+C=x(lnx–1)+C.
∫lnxdx=x(lnx–1)+C.
Найти первообразную от функции x5lnx.
Решение:
Примем lnx=u, a dv=x4dx, тогда получается, что du=dxx,v=16x6.
Получаем:
∫x5lnxdx=16x6lnx−16∫x5dx=16x6lnx−136x6+c.