Разность квадратов
Выведем формулу разности квадратов a2−b2.
Для этого вспомним следующее правило:
Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен ab:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки (a+b):
Итого, получим:
То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.
Представить в виде произведения 4x2−y2
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
4x2−y2=(2x)2−y2Используя формулу разности квадратов, получим:
(2x)2−y2=(2x−y)(2x+y)Сумма кубов
Выведем формулу суммы кубов a3+b3.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены a2b и ab2:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки (a+b):
Итого, получим:
То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
Представить в виде произведения 8x3+y3
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
8x3+y3=(2x)3+y3Используя формулу разности квадратов, получим:
(2x)3+y3=(2x+y)(4x2−2xy+y2)Разность кубов
Выведем формулу разность кубов a3−b3.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены a2b и ab2:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки (a−b):
Итого, получим:
То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
Представить в виде произведения 8x3−y3
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
8x3−y3=(2x)3−y3Используя формулу разности квадратов, получим:
(2x)3−y3=(2x−y)(4x2+2xy+y2)Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов
Разложить на множители.
а) (a+5)2−9
б) 8−x3y3
в) −x3+127
Решение:
а) (a+5)2−9
Запишем данное выражение в виде:
(a+5)2−9=(a+5)2−32Применяя формулу разности квадратов, получим:
(a+5)2−32=(a+5−3)(a+5+3)=(a+2)(a+8)б) 8+x3y3
Запишем данное выражение в виде:
8+x3y3=23+(xy)3Применим формулу кумы кубов:
23+(xy)3=(2+xy)(4−2xy+x2y2)в) −x3+127
Запишем данное выражение в виде:
−x3+127=(13)3−x3Применим формулу кумы кубов:
(13)3−x3=(13−x)(19+x3+x2)
