Для упрощения выражений, содержащих тригонометрические функции, часто приходится пользоваться какими-либо устоявшимися в применении формулами.
Ниже рассмотрены способы перехода от произведений косинусов и синусов к суммам.
Вспомним выражение для суммы синусов:
$\sin (α+β)+ \sin(α-β)=2 \cdot \sin α \cdot \cos β$
Из него можно получить формулу для упрощения умножения синуса на косинус:
$\sin α \cdot \cos β = \frac{\sin (α+β) + \sin (α-β)}{2}$
Из выражения $\cos (α+β)+\cos(α-β)=2\cos α \cdot cos β$ получаем формулу произведения косинусов:
$\cos α \cdot \cos β = \frac{\cos(α+β)+cos(α-β)}{2}$.
Теперь из формулы разности косинусов $\cos(α+β)-\cos(α-β) =-2 \sin α \cdot \sin β$ выразим произведение синусов:
$\sin α \sin β=\frac{cos(α -β)-\cos(α +β)}{2}$.
Воспользуйтесь приведённой выше формулой для произведения косинусов в выражении $\cos(3x+y) \cdot \cos(x-3y)$.
Решение:
$\cos(3x+y) \cdot \cos(x-3y)=\frac{\cos((3x+y) +(x-3y)) +\cos((3x+y)-(x-3y))}{2}=\frac{cos(4x-2y)+cos(2x+4y)}{2}$.
