Формула половинного угла

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Формулы половинного угла в тригонометрии — это формулы, в которых тригонометрические функции угла выражаются через угол, меньше исходного в два раза.

Иначе формулы половинного угла также называют тригонометрическими формулами понижения степени.

Формулы половинного аргумента для синуса и косинуса выводятся с помощью формул двойного аргумента.

Формула синуса половинного угла выглядит так:

$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$ .

Формула косинуса половинного угла:

$\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos x+1}{2}$ .

Синус и косинус половинного угла используются для вывода формулы тангенса половинного угла:

$\mathrm{tg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ — тангенс половинного угла.

Котангенс половинного угла выводится аналогичным образом:

$\mathrm{ctg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ .

Пример 1

Упростите выражения:

1) $\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}$ 2) $2 \cdot \sin{\frac{α}{2}}+ \cos α$ .

Решение:

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, а затем для числителя применим основное тригонометрическое тождество:

$\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}=\frac{1-\cos^2 α + \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{2\cdot \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{ \sin α}{\cos α}= \mathrm{tg} α$ .