В данной статье мы будем рассматривать понятие зеркальной симметрии в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.
Понятие движения
Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.
Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.
Введем теперь, непосредственно, определение движения.
Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.
Пример – рисунок 1.
Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.
При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.
При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.
Зеркальная симметрия
Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.
Точки $P$ и $P'$ будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости $a$, если прямая $(PP')$ будет перпендикулярна плоскости $a$ и, при этом, плоскость $a$ будет делить отрезок $[PP']$ пополам (рис. 2).
Зеркальной симметрией фигуры относительно плоскости будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой плоскости каждой точке начальной фигуры.
Введем следующую теорему:
Зеркальная симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно плоскости $l$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где плоскость $Oxy$ – это плоскость $l$. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно плоскости $Oxy$, то эта плоскость будет делить отрезок $[ZZ']$ пополам, то есть
$\frac{γ+γ'}{2}=0$
следовательно
$γ=-γ'$
Так как плоскость $Oxy$ совпадает с нашей плоскостью симметрии, то $α=α'$, $β=β'$.
Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}$
По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(α_1,β_1,-γ_1)$ и $(α_2,β_2,-γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d'=\sqrt{(α_1-α_2 )^2+(β_1-β_2 )^2+(-γ_1+γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$
То есть зеркальная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.
С понятием зеркальной симметрии также связано понятие симметричной фигуры:
Фигуру будем называть симметричной относительно какого-либо своего сечения, если при такой зеркальной симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).
Пример задачи
Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости $l$, изображенных на рисунке 4.
Решение.
Для построения такой зеркальной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости $l$ (рис. 5).
Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C'$, которая будет принадлежать прямой $c$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D'$, которая будет принадлежать прямой $d$. Причем, при этом первоначальная плоскость $l$ делит отрезки $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$, $[DD']$ пополам.
Таким образом, зеркальная симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.
