Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Зеркальная симметрия

В данной статье мы будем рассматривать понятие зеркальной симметрии в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Зеркальная симметрия

Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.

«Зеркальная симметрия» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Определение 3

Точки P и P будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости a, если прямая (PP) будет перпендикулярна плоскости a и, при этом, плоскость a будет делить отрезок [PP] пополам (рис. 2).

Определение 4

Зеркальной симметрией фигуры относительно плоскости будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой плоскости каждой точке начальной фигуры.

Введем следующую теорему:

Теорема 4

Зеркальная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть нам даны две точки Z и Z – симметричные относительно плоскости l. Построит систему координат Oxyz, где плоскость Oxy – это плоскость l. Пусть точка Z в этой системе координат имеет координаты (α,β,γ), а точка Z имеет координаты (α,β,γ). Так как эти точки симметричны относительно плоскости Oxy, то эта плоскость будет делить отрезок [ZZ] пополам, то есть

γ+γ2=0

следовательно

γ=γ

Так как плоскость Oxy совпадает с нашей плоскостью симметрии, то α=α, β=β.

Возьмем две произвольные точки X и Y с координатами (α1,β1,γ1) и (α2,β2,γ2), соответственно. Расстояние между ними равно

d=(α1α2)2+(β1β2)2+(γ1γ2)2

По формулам выше, получим, что симметричные им точки X и Y имеют координаты (α1,β1,γ1) и (α2,β2,γ2), соответственно. Расстояние между ними равно

d=(α1α2)2+(β1β2)2+(γ1+γ2)2=(α1α2)2+(β1β2)2+(γ1γ2)2=d

То есть зеркальная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.

С понятием зеркальной симметрии также связано понятие симметричной фигуры:

Определение 5

Фигуру будем называть симметричной относительно какого-либо своего сечения, если при такой зеркальной симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).

Пример задачи

Пример 1

Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости l, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения такой зеркальной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости l (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка A перейдет в такую точку A, которая будет принадлежать прямой a. Точка B перейдет в такую точку B, которая будет принадлежать прямой b. Точка C перейдет в такую точку C, которая будет принадлежать прямой c. Аналогично, и точка D перейдет в такую точку D, которая будет принадлежать прямой d. Причем, при этом первоначальная плоскость l делит отрезки [AA], [BB], [CC], [DD] пополам.

Таким образом, зеркальная симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.

Дата последнего обновления статьи: 17.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Зеркальная симметрия"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant