Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right)$; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}$. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U'\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

• из последнего равенства находим $U'\left(y\right)$;
• интегрируем $U'\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
• подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.

Чтобы получить частное решение уравнения в полных дифференциалах, начальное условие $y=y_{0}$ при $x=x_{0}$ нужно подставить в общее решение $F\left(x,y\right)=C$. Получаем $F\left(x_{0} ,y_{0} \right)=C$. Таким образом, частное решение имеет вид $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$.

Интегрирующие множители

Если для дифференциального уравнения $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}$ не выполняется, то такое уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях его можно преобразовать в уравнение в полных дифференциалах посредством умножения на некоторую функцию $\mu \left(x,y\right)$, которая называется интегрирующим множителем.

Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:

• когда он зависит только от $x$, то есть $\mu =\mu \left(x\right)$;
• когда он зависит только от $y$, то есть $\mu =\mu \left(y\right)$.

Первый случай имеем тогда, когда отношение $\frac{\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} }{Q} =\phi _{1} \left(x\right)$ зависит только от $x$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^{\int \phi _{1} \left(x\right)\cdot dx }$.

Второй случай имеем тогда, когда отношение $\frac{\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} }{P} =\phi _{2} \left(y\right)$ зависит только от $y$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy }$.

В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла. Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.

Алгоритмы решения

Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:

1. Данное дифференциальное уравнение следует представить в стандартном виде $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Чтобы убедиться в этом, следует проверить условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}$. Если это условие не выполняется, нужно перейти к поиску интегрирующего множителя. Иначе выполнение алгоритма продолжаем.
2. Вычисляем интеграл $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx$ и выбираем для него какое-то простое значение.
3. Находим частную производную $V'_{y} \left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y} V\left(x,y\right)$.
4. Находим разность $U'\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V'_{y} \left(x,y\right)$.
5. Интегрируем $U'\left(y\right)$ по $y$, находим $U\left(y\right)$ и выбираем для неё какое-то простое значение.
6. Записываем искомую функцию $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)$.
7. Записываем общее решение $F\left(x,y\right)=C$ и частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y=y_{0}$ при $x=x_{0}$ -- начальное условие.

Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:

1. Вычисляем вспомогательную функцию $R=\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x}$.
2. Находим функции $\phi _{1} \left(x\right)=\frac{R}{Q}$ и $\phi _{2} \left(y\right)=\frac{R}{P}$. Если функция $\phi _{1} \left(x\right)$действительно зависит только от $x$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^{\int \phi _{1} \left(x\right)\cdot dx }$. Если функция $\phi _{2} \left(y\right)$ действительно зависит только от $y$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy }$. В обоих случаях для интегрирующего множителя выбираем какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.
3. Если интегрирующий множитель найти удалось, то умножаем на него данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах и можно переходить на соответствующий алгоритм его решения. Если интегрирующий множитель найти не удалось, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.