Уравнение в полных дифференциалах и его решение
Дифференциальное уравнение, имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.
Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.
Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.
Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U'\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.
Дальнейшее решение таково:
- из последнего равенства находим $U'\left(y\right)$;
- интегрируем $U'\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
- подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.
Чтобы получить частное решение уравнения в полных дифференциалах, начальное условие $y=y_{0} $ при $x=x_{0} $ нужно подставить в общее решение $F\left(x,y\right)=C$. Получаем $F\left(x_{0} ,y_{0} \right)=C$. Таким образом, частное решение имеет вид $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$.
Интегрирующие множители
Если для дифференциального уравнения $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $ не выполняется, то такое уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях его можно преобразовать в уравнение в полных дифференциалах посредством умножения на некоторую функцию $\mu \left(x,y\right)$, которая называется интегрирующим множителем.
Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:
- когда он зависит только от $x$, то есть $\mu =\mu \left(x\right)$;
- когда он зависит только от $y$, то есть $\mu =\mu \left(y\right)$.
Первый случай имеем тогда, когда отношение $\frac{\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} }{Q} =\phi _{1} \left(x\right)$ зависит только от $x$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^{\int \phi _{1} \left(x\right)\cdot dx } $.
Второй случай имеем тогда, когда отношение $\frac{\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} }{P} =\phi _{2} \left(y\right)$ зависит только от $y$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy } $.
В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла. Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.
Алгоритмы решения
Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Данное дифференциальное уравнение следует представить в стандартном виде $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Чтобы убедиться в этом, следует проверить условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если это условие не выполняется, нужно перейти к поиску интегрирующего множителя. Иначе выполнение алгоритма продолжаем.
- Вычисляем интеграл $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx $ и выбираем для него какое-то простое значение.
- Находим частную производную $V'_{y} \left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y} V\left(x,y\right)$.
- Находим разность $U'\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V'_{y} \left(x,y\right)$.
- Интегрируем $U'\left(y\right)$ по $y$, находим $U\left(y\right)$ и выбираем для неё какое-то простое значение.
- Записываем искомую функцию $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)$.
- Записываем общее решение $F\left(x,y\right)=C$ и частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y=y_{0} $ при $x=x_{0} $ -- начальное условие.
Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Вычисляем вспомогательную функцию $R=\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} $.
- Находим функции $\phi _{1} \left(x\right)=\frac{R}{Q} $ и $\phi _{2} \left(y\right)=\frac{R}{P} $. Если функция $\phi _{1} \left(x\right)$действительно зависит только от $x$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^{\int \phi _{1} \left(x\right)\cdot dx } $. Если функция $\phi _{2} \left(y\right)$ действительно зависит только от $y$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy } $. В обоих случаях для интегрирующего множителя выбираем какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.
- Если интегрирующий множитель найти удалось, то умножаем на него данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах и можно переходить на соответствующий алгоритм его решения. Если интегрирующий множитель найти не удалось, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Дано дифференциальное уравнение, имеющее следующий вид:
\[\left(5\cdot y^{3} +13\cdot y^{2} +6\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y^{2} +23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4\right)\cdot dy=0.\]Найти его общее решение. Найти также его частное решение для начального условия $y=3$ при $x=2$.
Данное дифференциальное уравнение имеет вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, где $P\left(x,y\right)=5\cdot y^{3} +13\cdot y^{2} +6\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y^{2} +23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Поэтому проверяем условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $.
Находим частные производные: $\frac{\partial P}{\partial y} =15\cdot y^{2} +26\cdot y+6$, $\frac{\partial Q}{\partial x} =10\cdot y^{2} +23\cdot y+6$. Условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $ не выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому переходим к поиску интегрирующего множителя.
Находим вспомогательную функцию $R=\frac{\partial P}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial x} $. Получаем$R=15\cdot y^{2} +26\cdot y+6-10\cdot y^{2} -23\cdot y-6=5\cdot y^{2} +3\cdot y$.
Находим функции: $\phi _{1} \left(x\right)=\frac{R}{Q} =\frac{5\cdot y^{2} +3\cdot y}{10\cdot x\cdot y^{2} +23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4} $ и $\phi _{2} \left(y\right)=\frac{R}{P} =\frac{5\cdot y^{2} +3\cdot y}{5\cdot y^{3} +13\cdot y^{2} +6\cdot y} $.
Выполняем упрощение найденных функций посредством сокращения дробей. Оказывается, что для функции $\phi _{1} \left(x\right)$ сокращение невозможно. Функция $\phi _{2} \left(y\right)$ в результате сокращения получает вид $\phi _{2} \left(y\right)=\frac{1}{y+2} $. При этом она зависит только от $y$ и поэтому подходит для определения интегрирующего множителя.
Интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy } $. Получаем: $\mu =e^{-\int \phi _{2} \left(y\right)\cdot dy } =e^{-\int \frac{1}{y+2} \cdot dy } =e^{-\ln \left|y+2\right|} =\frac{1}{e^{\ln \left|y+2\right|} } =\frac{1}{\left|y+2\right|} $. Выбираем конкретное значение $\mu =\frac{1}{y+2} $.
Умножаем полученный интегрирующий множитель на данное дифференциальное уравнение:
\[\frac{5\cdot y^{3} +13\cdot y^{2} +6\cdot y}{y+2} \cdot dx+\frac{10\cdot x\cdot y^{2} +23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4}{y+2} \cdot dy=0.\]После деления многочленов имеем:
\[\left(5\cdot y^{2} +3\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2\right)\cdot dy=0. \]Получили новое дифференциальное уравнение, в котором $P\left(x,y\right)=5\cdot y^{2} +3\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2$.
Снова проверяем условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $: получаем $\frac{\partial P}{\partial y} =10\cdot y+3$, $\frac{\partial Q}{\partial x} =10\cdot y+3$. Условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $ выполняется. Следовательно, новое дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Переходим к алгоритму его решения.
Вычисляем интеграл: $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx =\int \left(5\cdot y^{2} +3\cdot y\right)\cdot dx =$
\[=\left(5\cdot y^{2} +3\cdot y\right)\cdot \int dx =\left(5\cdot y^{2} +3\cdot y\right)\cdot x=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y.\]Находим частную производную:
\[V'_{y} \left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y} V\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y} \left(5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x.\]Находим разность:
\[U'\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V'_{y} \left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2-10\cdot x\cdot y-3\cdot x=-2.\]Интегрируем $U'\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:
\[5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=C.\]Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:
\[F\left(2,3\right)=5\cdot 2\cdot 3^{2} +3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 3=90+18-6=102.\]Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
