Вид общего решения линейного неоднородного уравнения $n$-го порядка
Будем рассматривать линейное неоднородное дифференциальное уравнение $n$-го порядка (ЛНДУ-n), которое в общем виде записывается как
а также соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение $n$-го порядка (ЛОДУ-n) в виде $L\left(y\right)=0$.
Известно, что общее решение (ОР) ЛНДУ-n равно сумме любого его частного решения (ЧР) и ОР соответствующего ЛОДУ-n.
Другим важным свойством ЛНДУ-n является то, что если $L\left(y\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+\ldots +f_{k} \left(x\right)$, причем $y_{1} $ -- ЧР уравнения $L\left(y\right)=f_{1} \left(x\right)$, $y_{2} $ -- ЧР уравнения $L\left(y\right)=f_{2} \left(x\right), \dots ,$ $y_{k} $ -- ЧР уравнения $L\left(y\right)=f_{k} \left(x\right)$, то $y_{1} +y_{2} +\ldots +y_{k} $ является ЧР уравнения $L\left(y\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+\ldots +f_{k} \left(x\right)$.
Дано ЛНДУ-2 $y''+3\cdot y=3+4\cdot e^{x} $. При этом $y''+3\cdot y=3$ имеет ЧР $y_{1} =1$, а $y''+3\cdot y=4\cdot e^{x} $ имеет ЧР $y_{2} =e^{x} $. Убедиться в правильности данных ЧР. Найти ЧР данного ЛНДУ-2 $y''+3\cdot y=3+4\cdot e^{x} $.
Проверяем ЧР $y_{1} =1$. Имеем $y''_{1} =0$. Подставляем: $0+3\cdot 1=3$.
Проверяем ЧР $y_{2} =e^{x} $. Имеем $y''_{2} =e^{x} $. Подставляем: $e^{x} +3\cdot e^{x} =4\cdot e^{x} $.
Проверим то, что ЧР данного ЛНДУ-2 $y''+3\cdot y=3+4\cdot e^{x} $ имеет вид $y=1+e^{x} $.
Имеем $y''=e^{x} $. Подставляем: $e^{x} +3\cdot \left(1+e^{x} \right)=3+4\cdot e^{x} $.
Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) является общим методом нахождения ЧР ЛНДУ-n.
Пусть известно ОР ЛОДУ-n $y=C_{1} \cdot y_{1} +C_{2} \cdot y_{2} +\ldots +C_{n} \cdot y_{n} $, где $y_{1} ,y_{2} ,\ldots ,y_{n} $ -- некоторая фундаментальная система решений ЛОДУ-n, а $C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} $ -- произвольные постоянные.
Ищут ЧР ЛНДУ-n, считая $C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} $ не постоянными, а неизвестными функциями от $x$, то есть в виде $y=C_{1} \left(x\right)\cdot y_{1} +\ldots +C_{n} \left(x\right)\cdot y_{n} $.
При этом можно показать, что искомые функции $C_{j} \left(x\right)$, $j=1,2,\ldots ,n$ удовлетворяют неоднородной системе $n$ линейных алгебраических уравнений с $n$ неизвестными $C'_{1} \left(x\right),C'_{2} \left(x\right),\ldots ,C'_{n} \left(x\right)$:
\[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \cdot y_{1} +C'_{2} \cdot y_{2} +\ldots +C'_{n} \cdot y_{n} =0} \\ {C'_{1} \cdot y'_{1} +C'_{2} \cdot y'_{2} +\ldots +C'_{n} \cdot y'_{n} =0} \\ {\ldots } \\ {C'_{1} \cdot y_{1}^{\left(n-2\right)} +C'_{2} \cdot y_{2}^{\left(n-2\right)} +\ldots +C'_{n} \cdot y_{n}^{\left(n-2\right)} =0} \\ {C'_{1} \cdot y_{1}^{\left(n-1\right)} +C'_{2} \cdot y_{2}^{\left(n-1\right)} +\ldots +C'_{n} \cdot y_{n}^{\left(n-1\right)} =f\left(x\right)} \end{array}\right. .\]Эта система имеет единственное решение, найдя которое, после интегрирования можно получить $C_{1} \left(x\right),C_{2} \left(x\right),\ldots ,C_{n} \left(x\right)$. Чтобы получить нужное ЧР, достаточно подставить найденные $C_{1} \left(x\right),C_{2} \left(x\right),\ldots ,C_{n} \left(x\right)$ в $y=C_{1} \left(x\right)\cdot y_{1} +\ldots +C_{n} \left(x\right)\cdot y_{n} $.
Найти ОР ЛНДУ-2 $y''-\frac{y'}{x} =2\cdot x+x^{2} $.
Рассмотрим соответствующее ЛОДУ-2 $y''-\frac{y'}{x} =0$. Легко убедиться, что его ОР имеет вид $y=C_{1} \cdot x^{2} +C_{2} $. Действительно: $y'=2\cdot C_{1} \cdot x$; $y''=2\cdot C_{1} $; откуда после подстановки получаем $2\cdot C_{1} -\frac{2\cdot C_{1} \cdot x}{x} =0$.
ОР данного ЛНДУ-2 ищем в виде $y=C_{1} \left(x\right)\cdot x^{2} +C_{2} \left(x\right)$, где $y_{1} =x^{2} $, $y_{2} =1$. Готовим данные для системы: $y'_{1} =2\cdot x$; $y'_{2} =0$.
Таким образом, система для определения неизвестных функций $C'_{1} \left(x\right),C'_{2} \left(x\right)$ имеет вид:
\[\left\{\begin{array}{c} {C'_{1} \left(x\right)\cdot x^{2} +C'_{2} \left(x\right)\cdot 1=0} \\ {C'_{1} \left(x\right)\cdot 2\cdot x+C'_{2} \left(x\right)\cdot 0=2\cdot x+x^{2} } \end{array}\right. .\]Решаем эту систему.
Из второго уравнения получаем: $C'_{1} \left(x\right)=1+\frac{x}{2} $.
Из первого уравнения получаем: $C'_{2} \left(x\right)=-x^{2} -\frac{x^{3} }{2} $.
Интегрируем: $C_{1} \left(x\right)=x+\frac{x^{2} }{4} +C_{1} $; $C_{2} \left(x\right)=-\frac{x^{3} }{3} -\frac{x^{4} }{8} +C_{2} $.
Таким образом, ОР данного ЛНДУ-2 имеет вид:
\[y=\left(x+\frac{x^{2} }{4} +C_{1} \right)\cdot x^{2} -\frac{x^{3} }{3} -\frac{x^{4} }{8} +C_{2} =\frac{x^{4} }{8} +\frac{2\cdot x^{3} }{3} +C_{1} \cdot x^{2} +C_{2} . \]Найти ОР ЛОДУ-5 $y^{\left(5\right)} +5\cdot y^{\left(4\right)} +3\cdot y'''-9\cdot y''=0$.
Данному ЛОДУ-5 соответствует характеристическое уравнение $k^{5} +5\cdot k^{4} +3\cdot k^{3} -9\cdot k^{2} =0$.
Разложив левую часть характеристического уравнения на множители, получим: $k^{2} \cdot \left(k-1\right)\cdot \left(k+3\right)^{2} =0$.
Корни этого уравнения таковы: $k_{1,2} =0$; $k_{3} =1$; $k_{4,5} =-3$.
Записываем фундаментальную систему решений:
\[y_{1} =e^{0\cdot x} =1; y_{2} =x\cdot e^{0\cdot x} =x; y_{3} =e^{1\cdot x} =e^{x} ; y_{4} =e^{-3\cdot x} ; y_{5} =x\cdot e^{-3\cdot x} .\]Таким образом, ОР данного ЛОДУ-5 имеет вид:
\[y=C_{1} +C_{2} \cdot x+C_{3} \cdot e^{x} +C_{4} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{5} \cdot x\cdot e^{-3\cdot x} .\]Найти ОР ЛНДУ-2 $y''-9\cdot y'+14\cdot C=x\cdot e^{x} $.
Рассмотрим соответствующее ЛОДУ-2 $y''-9\cdot y'+14\cdot C=0$. Его характеристическое уравнение имеет вид $k^{2} -9\cdot k+14=0$. Корни этого характеристического уравнения: $k_{1} =2$; $k_{2} =7$.
Фундаментальная система решений: $y_{1} =e^{2\cdot x} $; $y_{2} =e^{7\cdot x} $.
ОР ЛОДУ-2 имеет вид: $y=C_{1} \cdot e^{2\cdot x} +C_{2} \cdot e^{7\cdot x} $.
ОР данного ЛНДУ-2 ищем в виде $y=C_{1} \left(x\right)\cdot e^{2\cdot x} +C_{2} \left(x\right)\cdot e^{7\cdot x} $.
Готовим данные для системы: $y'_{1} =2\cdot e^{2\cdot x} $; $y'_{2} =7\cdot e^{7\cdot x} $.
Таким образом, система для определения неизвестных функций $C'_{1} \left(x\right),C'_{2} \left(x\right)$ имеет вид:
\[\left\{\begin{array}{c} {C'_{1} \left(x\right)\cdot e^{2\cdot x} +C'_{2} \left(x\right)\cdot e^{7\cdot x} =0} \\ {C'_{1} \left(x\right)\cdot 2\cdot e^{2\cdot x} +C'_{2} \left(x\right)\cdot 7\cdot e^{7\cdot x} =x\cdot e^{x} } \end{array}\right. .\]Решаем эту систему.
Из первого уравнения получаем: $C'_{1} \left(x\right)=-C'_{2} \left(x\right)\cdot e^{5\cdot x} $.
Из второго уравнения следует: $-C'_{2} \left(x\right)\cdot e^{5\cdot x} \cdot 2\cdot e^{2\cdot x} +C'_{2} \left(x\right)\cdot 7\cdot e^{7\cdot x} =x\cdot e^{x} $;
\[C'_{2} \left(x\right)\cdot 5\cdot e^{7\cdot x} =x\cdot e^{x} ; C'_{2} \left(x\right)=\frac{1}{5} \cdot x\cdot e^{-6\cdot x} .\]Отсюда получаем: $C'_{1} \left(x\right)=-\frac{1}{5} \cdot x\cdot e^{-6\cdot x} \cdot e^{5\cdot x} =-\frac{1}{5} \cdot x\cdot e^{-x} $;
Интегрируем по частям и получаем:
\[C_{1} \left(x\right)=-\frac{1}{5} \cdot \int x\cdot e^{-x} \cdot dx =\frac{1}{5} \cdot e^{-x} \cdot \left(x+1\right)+C_{1} ; \] \[C_{2} \left(x\right)=\frac{1}{5} \cdot \int x\cdot e^{-6\cdot x} \cdot dx =-\frac{1}{180} \cdot e^{-6\cdot x} \cdot \left(6\cdot x+1\right)+C_{2} . \]Таким образом, ОР данного ЛНДУ-2 имеет вид:
\[y=\left(\frac{1}{5} \cdot e^{-x} \cdot \left(x+1\right)+C_{1} \right)\cdot e^{2\cdot x} +\left(-\frac{1}{180} \cdot e^{-6\cdot x} \cdot \left(6\cdot x+1\right)+C_{2} \right)\cdot e^{7\cdot x} . \]После некоторых упрощений имеем:
\[y=\frac{1}{5} \cdot e^{x} \cdot \left(x+1\right)-\frac{1}{180} \cdot e^{x} \cdot \left(6\cdot x+1\right)+C_{1} \cdot e^{2\cdot x} +C_{2} \cdot e^{7\cdot x} .\]
