Предварительные сведения
Здесь мы будем рассматривать трехмерный случай. Введем, для начала, следующие данные.
Лемма 1: Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ являются коллинеарными, и вектор $\overrightarrow{a}$ не является нулевым, тогда можно найти действительное число $k$, удовлетворяющее равенству
Доказательство.
Рассмотрим два следующих случая:
-
$\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$
Пусть число $k$ равняется $k=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены, а $k\ge 0$, то векторы $k\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены. Далее, имеем, что
\[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.
-
$\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$
Пусть число $k$ равняется $k=-\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ являются противоположно направленными, а $k \[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]
Статья: Декартовы координаты и векторы в пространстве
Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.
Доказано.
Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
\[\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]Доказательство.
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:
\[\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{OC}\ и\ \overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}\]Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 1.
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OC}$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OB}$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:
\[\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}\]Так как векторы $\overrightarrow{OP_2}$ и $\overrightarrow{OA}$ коллинеарны, то
\[\overrightarrow{OP_2}={\alpha }_1\overrightarrow{OA}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}\]Так как векторы $\overrightarrow{P_2P_1}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то
\[\overrightarrow{P_2P_1}={\alpha }_2\overrightarrow{OB}={\alpha }_2\overrightarrow{a_2}\]Так как векторы $\overrightarrow{P_1P}$ и $\overrightarrow{OC}$ коллинеарны, то
\[\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_3\overrightarrow{OC}={\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]Тогда, получаем, что
\[\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}\]Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $\overrightarrow{p}$ по векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$:
\[\overrightarrow{p}={\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}\]Вычтем эти разложения друг из друга
\[\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}-{\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}-{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}-{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}\] \[\overrightarrow{0}=\left({\alpha }_1-{{\alpha }'}_1\right)\overrightarrow{a_1}+\left({\alpha }_2-{{\alpha }'}_2\right)\overrightarrow{a_2}+({\alpha }_3-{{\alpha }'}_3)\overrightarrow{a_3}\]Из этого получаем
\[\left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1-{{\alpha }'}_1=0,} \\ {{\alpha }_2-{{\alpha }'}_2=0} \\ {{\alpha }_3-{{\alpha }'}_3=0.} \end{array},\right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1={{\alpha }'}_1,} \\ {{\alpha }_2={{\alpha }'}_2,} \\ {{\alpha }_3={{\alpha }'}_3.} \end{array} \right.\]Доказано.
Координаты вектора
Рассмотрим декартову систему координат, которая строится следующим образом. Обозначим начало координат точкой $O$, по направлению оси $Ox$ построим вектор $\overrightarrow{i}$, по направлению оси $Oy$ построим вектор $\overrightarrow{j}$, а в направлении оси $Oz$ отложим вектор $\overrightarrow{k}$, длины которых равны единице.
Векторы $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ координатные векторы.
Из того что векторы $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}\ $и $\overrightarrow{k}\ $не коллинеарны, по теореме 1, следует, что любой вектор можно разложить в виде $\overrightarrow{c}={\alpha }_1\overrightarrow{i}+{\alpha }_2\overrightarrow{j}+{\alpha }_3\overrightarrow{k}$.
Коэффициенты в разложении вектора $\overrightarrow{c}={\alpha }_1\overrightarrow{i}+{\alpha }_2\overrightarrow{j}+{\alpha }_3\overrightarrow{k}$ называют координатами вектора в данной системе координат, то есть
\[\overrightarrow{c}=\{{\alpha }_1,\ {\alpha }_2,{\alpha }_3\}\]Линейные операции над векторами
Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1,z_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2,z_2\}$, тогда
\[\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+\ y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k},\ \overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\] \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=x_1\overrightarrow{i}+\ y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}+x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}={(x}_1+x_2)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}+(z_1+z_2)\overrightarrow{k}\] \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}={\{x}_1+x_2,\ y_1+y_2,z_1+z_2\}\]Теорема доказана.
Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.
Доказательство.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1,z_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2,z_2\}$, тогда
\[\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+\ y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k},\ \overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\] \[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=x_1\overrightarrow{i}+\ y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}-x_2\overrightarrow{i}-y_2\overrightarrow{j}-z_2\overrightarrow{k}={(x}_1-x_2)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}+(z_1-z_2)\overrightarrow{k}\]Следовательно
\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}={\{x}_1-x_2,\ y_1-y_2,z_1-z_2\}\]Теорема доказана.
Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.
Доказательство.
Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x,\ y,z\right\}$, тогда $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+\ y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.$
\[k\overrightarrow{a}=k\left(x\overrightarrow{i}+\ y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)=kx\overrightarrow{i}+ky\overrightarrow{j}+kz\overrightarrow{k}\]Следовательно
\[k\overrightarrow{a}=\{kx,\ ky,kz\}\]Теорема доказана.
Пример задачи на нахождение координат вектора
Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{3,\ 4,2\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{2,\ -1,0\}$. Найти $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и $3\overrightarrow{a}$.
Решение.
\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left\{3+2,\ 4-1,2+0\right\}=\{5,\ 3,2\}\] \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left\{3-2,\ 4+1,2-0\right\}=\{1,\ 5,2\}\] \[3\overrightarrow{a}=\left\{3\cdot 3,3\cdot 4,3\cdot 2\right\}=\{9,12,6\}\]
