Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.
Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.
Вывод канонического уравнения гиперболы
Рисунок 1. Рис. 1.Вывод канонического уравнения гиперболы
Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$, находящимися на оси $OX$, причём точка $O$ лежит в центе между фокусами.
Следовательно координаты $F_1(-c; 0)$, а $F_2(c; 0)$, где $c$ - расстояние до фокуса гиперболы.
Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую гиперболе.
Отрезки $r_1 =|F_1M|$ и $r_2 =|F_2M|$ называются фокальными радиусами точки $M$ гиперболы.
Из определения гиперболы следует, что $|r_1 -r_2| =2a$, следовательно $r_1 – r_2=±2a$, причём $r_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$, а $r_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$.
Соответственно, уравнение $r_1 – r_2=±2a$ иначе можно записать как $\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = ±2a$ (1).
Умножим выражение (1) на $\frac{$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{±2a}$, получается:, получается:
$\frac{(x + c)^2 + y^2 - (x - c)^2 – y^2}{±2a} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$
Упростим: $\frac{2cx}{±a} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$ (2)
Сложим уравнения (1) и (2), получим:
$±(\frac{cx}{a}) + a = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ (3)
Возведём (3) в квадрат:
$\frac{c^2 x^2}{a^2} + 2xc + a^2 = (x^2 +2x c + c^2 + y^2)$
$\frac{c^2 – a^2}{a^2} \cdot x^2 – y^2 = c^2 – a^2$
Пусть $b^2 = c^2 – a^2$, так как $c > 0$ и, следовательно $\frac{b^2}{a^2}x^2 – y^2 = b^2$
Получаем уравнение: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (4), являющееся каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат.
Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.
Уравнение параболы выглядит следующим образом:
$y^2 = px$, где число $p$ должно быть больше нуля; это число называется фокальным параметром.
Каноническое уравнение гиперболы примеры решения
Ниже небольшая инструкция о том, как найти каноническое уравнение гиперболы.
Приведём уравнение $5x^2 - 4y^2 = 20$ к каноническому виду гиперболического уравнения, для этого разделим всё уравнение на $20$:
$\frac{5x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$
Запишем знаменатели в виде степеней:
$\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{\sqrt{5}^2} = 1$
Теперь вы знаете, как написать каноническое уравнение гиперболы. Дальше мы расскажем о том, как строить гиперболу по каноническому уравнению.
Построение гиперболы по каноническому уравнению
Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.
Рисунок 2. Рис. 2. Построение гиперболы по каноническому уравнению
Для начала необходимо построить асимптоты для данной гиперболы, их формулы определяются из уравнения $y = ±\frac{b\cdot x}{a}$. Для нашего канонического уравнения гиперболы они будут выглядеть так: $y = ±\frac{\sqrt{5}} {2}\cdot x$
Теперь найдём вершины гиперболы, они расположены на оси абсисс в точках $(0; a)$ и $(0; -a)$, назовём их точками $A_1, A_2$. Вершины нашей гиперболы находятся в точках $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.
Далее необходимо найти две-три точки, принадлежащие любой из двух ветвей гиперболы, если гипербола без смещения – точки на второй ветви будут симметричны им относительно осей гиперболы. Выразим $y$ из канонического уравнения нашей гиперболы:
$y = ±\frac{1}{2} \sqrt{5 x^2 - 4}$
Найдём точки для положительной части гиперболы:
при $x = 3, y =2.5$, а при $x = 3, y ≈3,87$.
Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.
