Значение теорем Тарского, Геделя, Россера об ограничениях формализмов для методологии дедуктивных наук

Теоремы Гёделя

Теоремы, сформулированные Куртом Гёделем, были принципиально важны для исследования проблемы неполноты математики и естественных наук.

Проблема полноты формальной системы была сформулирована Давидом Гильбертом. Своей конечной целью исследователь ставил доказательство непротиворечивости классической математики, представленной как формальные системы. Полная формализация математики предусматривала ее кристальную чистоту и непротиворечивость, была призвана устранить неопределенность если не в полной мере, то в очень большой. Однако идеи Гёделя стали на пути этой цели.

Гёдель предложил две фундаментальные теоремы:

• в первой теореме утверждается невозможность полностью формализовать арифметику. Поскольку классическую математику можно свести к арифметике натуральных чисел, то и сама математика не может быть формализована (аксиоматизирована) таким образом, чтобы всякая формула могла быть доказана или опровергнута. До этого ученые считали, что при наличии набора аксиом и правил вывода из них можно вывести любое истинное суждение. Этот логический постулат пошатнулся после того, как была сформулирована первая теорема Гёделя, потому что соответствующий вывод из системы аксиом может быть найден не для любого истинного предложения. Другими словами, наличие истины не гарантирует наличия явного пути для ее достижения;
• во второй теореме Гёдель продемонстрировал, что для непротиворечивой формальной арифметической системы не существует доказательств непротиворечивости, проводимых формализуемыми в этой системе средствами. Эта теорема называется теоремой неполноты формализованной арифметики. Непосредственным следствием второй теоремы Гёделя является тот факт, что для того, чтобы доказать непротиворечивость формализованной арифметики нужны более сильные методы, чем допускающие формализацию в этой системе. В итоге строится иерархия формальных систем, каждая следующая из которых превосходит предыдущую по силе средств формализации.

Из идей Гёделя следуют основные заключения:

• математика неполна,
• средствами самой математики невозможно доказать ее непротиворечивость.

Значение теорем Гёделя не ограничивается рамками одной арифметики, поскольку логико-математический аппарат так или иначе используется во всех естественных науках при построении теорий. Поэтому и химия, и физика, и биология, и экология в своем фундаменте содержат некоторую долю неполноты, мешающую их развитию или порождающую противоречия между созерцаемыми реальными фактами и «книжными» теориями.

Теоремы Геделя дают представление о том, что для достижения дедуктивной системы, которая является совершенной, нужно иметь формальную систему, которая является совершенной.

Теоремы Тарского

Теоремы Тарского - это набор принципов, которые были разработаны американским логиком Карлом Тарским в 1936 году. Они были разработаны для использования в дедуктивных науках, таких как математика, логика и философия.

Суть теорем Тарского заключается в том, что любая методология, используемая в дедуктивных науках, должна быть основана на двух принципах: строгой верности и принятия принципа индукции. Первый принцип гласит, что все наблюдения должны быть подтверждены историей наблюдений и не должны быть отрицательными. Второй принцип гласит, что принятие принципа индукции должно быть основано на предположении, что применимые принципы правильны и не подлежат дальнейшему исследованию.

На языке классической логики понятие конечности невыразимо. Соответственно, ни в какой теории нельзя однозначно описать множество натуральных чисел. Но в принципе она могла бы описать все формулы рассматриваемой сигнатуры, истинные на этом множестве, и этого было бы достаточно во многих случаях. В таком случае, алгоритм вычисления истинности данной математической формулы существовал бы, и вопрос практической проверки мог бы быть сведен только к оптимизации этого алгоритма.

Тщетность надежд на то, что традиционные математические теории полны, была показана Куртом Гёделем в 1931 году. Идейной основой доказательства стали результаты, доказанные польским логиком А. Тарским.

Теоремы Россера

Теорема Россера указывает, что формальные системы, которые могут быть использованы для установления дедуктивных законов, должны соответствовать ряду условий.

Теорема Россера - это методологический принцип, который был предложен американским философом Джоном Россером в 1959 году. Он был предложен как дополнение к теореме Тарского и Геделя. Суть теоремы Россера заключается в том, что принятие принципа индукции должно быть основано на предположении, что применимые принципы правильны и не подлежат дальнейшему исследованию. Таким образом, теорема Россера предлагает дополнительный принцип, который должен быть учтен при использовании дедуктивных методологий.

В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что: Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна, и B служит примером неразрешимой формулы.

Итак, теоремы Тарского, Геделя и Россера предоставляют важное понимание того, какие формальные системы могут быть использованы для установления дедуктивных законов. Тарский указывает на то, что существуют ограничения, Гедель дает представление о том, что система должна быть совершенной, а Россер указывает на то, что система должна удовлетворять определенным условиям.