Неклассические логики

Модальная логика

Модальная логика – это одна из ветвей современной символической логики, предметом изучения которой выступают модальные суждения (модальности). Одна из ключевых особенностей модальной логики состоит в том, что значение истинности сложного высказывания, включающего модальный оператор, не определяется однозначно (как это происходит в классическом исчислении высказываний). Другими словами, модальные операторы «необходимо» и «возможно» - это не функции истинности.

Допустим, известно, некоторое высказывание q (q необходимо) истинно. При этом высказывание «необходимо q» (т. е. «необходимо, что q необходимо») может быть как истинно, так и ложно.

Пусть высказывание q «необходимо, что вода кипит при 100 градусах по шкале Цельсия» истинно. Этого недостаточно, чтобы утверждать, что высказывание «необходимо, что необходимо, что вода кипит при 100 градусах по шкале Цельсия» будет истинным. Другими словами, нельзя быть уверенным, что вода всегда и везде будет кипеть именно при 100 градусах по шкале Цельсия. Так, при изменении давления температура кипения изменится – это явление можно наблюдать в горах.

Подобная ситуация имеет место и в случае с модальным оператором «возможно» - только здесь из ложности высказывания q не следует ложность высказывания «возможно q» (оно может быть истинным).

Существует связь между модальной логикой и теорией возможных миров, основанной на предположении существования бесконечного множества миров. Тогда можно предположить, что в каком-то из этих миров осуществится событие, имеющее принципиальную возможность осуществиться. Эти миры отражают все мыслимые человеком возможности развития ситуации – но в действительности воплощается только одна из альтернатив. Одно и то же высказывание в разных мирах будет обладать разной истинностной характеристикой.

В современной модальной логике исследуется широкий спектр модальностей:

• физические,
• логические,
• деонтические,
• эпистемические,
• временные,
• аксиологические и т. д.

Многозначная логика

Многозначная логика интенсивно развивается в настоящее время. Она отличается от классической логики наличием большего числа значений для характеристики выражения. Наряду с классическими «истина» и «ложь» могут использоваться:

• «возможность»,
• «неопределенность»,
• «бессмысленность».

В системах многозначной логики количество истинностных значений может быть конечным или даже бесконечным. Традиционные значения («истина» и «ложь») тоже используются, поэтому многозначная логика рассматривается как расширение, а не отрицание, классической логики.

Многозначная логика допускает интерпретацию некоторых систем модальной логики, но это не позволяет считать модальную логику разновидностью многозначной. Эти логики имеют разный характер и сферы приложения, в чем можно убедиться путем сопоставления:

• модальная логика использует специальные модальные операторы «необходимо» и «возможно»;
• многозначная логика не пользуется подобными операторами; она оперирует дополнительными значениями истинности.

Первую трехзначную логику создал Я. Лукасевич. Его система стала наглядным доказательством возможности мышления на основе иной, отличной от классической двузначной, логики – более гибкой и богатой. После этого появились другие многозначные логики, в том числе:

• трехзначная логика Д. А. Бочвара,
• трехзначная логика А. Гейтинга,
• трехзначная логика Г. Рейхенбаха,
• n-значная логика Э. Поста,
• бесконечнозначные логики, в которых высказывания могут принимать бесконечное число значений истинности. Частный случай бесконечнозначной логики – вероятностная логика, имеющая дело с гипотетическими (правдоподобными) высказываниями. Вероятностная логика базируется на теории вероятности, объективно характеризующей степень возможности реализации некоторых событий в установленных многократной повторяющихся условиях.

Интуиционистская и конструктивная логики

В начале XX века возникла интуиционистская логика, опирающаяся на математический интуиционизм. Основная идея математического интуиционизма – существование первоначальной интуиции, благодаря которой человеческий разум конструирует ряд натуральных чисел и все действительные числа. Первоначальная интуиция обладает следующими чертами:

• является мыслительной деятельностью мозга человека;
• не зависит от языка. Интуиционистские построения не связываются с языковыми выражениями. Хотя язык нужен, чтобы сообщить результаты, ни один язык не может обеспечить совершенное воспроизведение чистой мысли;
• не может быть описана заранее составленными правилами. Доказательство будет справедливым, если представляет собой построение из непосредственно очевидных отдельных шагов. Независимо от конкретного набора правил, всегда можно найти правильное доказательство, не согласующееся с ними;
• по своему характеру объективна и одинакова у всех существ, способных мыслить.

Интуиционистская логика пересматривает трактовку истинности высказываний, признает неправомерными применение законов классической логики:

• закона двойного отрицания,
• закона исключенного третьего,
• закона приведения к абсурду.

Кроме того, меняется подход к заданию и толкованию пропозициональных связок.

Конструктивная логика признает идеи интуиционизма продуктивными. Отличие состоит в том, что конструктивная логика считает законными не процессы, описываемые свободно становящимися последовательностями (как это происходит в интуиционистской логике), а лишь процессы, определяемые алгорифмом – некоторым предписанием. Есть и другие отличия, но они носят преимущественно частный характер.