Логические уравнения

Общая характеристика логических уравнений

Разнообразные уравнения часто встречаются в жизни. Их используют в финансовых расчетах, строительной сфере, даже в спорте. Уже в древних цивилизациях люди применяли уравнения, а по мере развития науки (в первую очередь математики) сфера их использования только расширялась.

В математической логике решается особый тип уравнений – логические уравнения. Их специфика состоит в том, что неизвестные, которые требуется отыскать, – это не числовые, а логические переменные (могут иметь значения «истина» или «ложь»). Соответственно, и связываются они не арифметическими, а логическими операциями.

Чтобы решить логическое уравнение, требуются определенные знания:

• знать законы логики высказываний,
• знать таблицы истинности основных логических функций,
• уметь преобразовывать логические выражения,
• знать свойства базовых логических операций – конъюнкции, дизъюнкции, отрицания (инверсии), эквивалентности и импликации.

Методы решения логических уравнений и их систем

Логические уравнения можно решать разными способами – в каждом случае выбирается оптимальный исходя из особенностей конкретного уравнения. Иногда целесообразно решить одно уравнение несколькими способами, чтобы проверить правильность результата. Базовыми способами решения являются:

• применение к каждому уравнению (или входящим в него выражениям) определения функции. Хотя этот метод кажется очень простым, он позволяет решать и достаточно сложные системы логических уравнений;
• построение таблиц истинности для частей уравнения. Этот метод хорош для уравнений, содержащих 2-3 логические переменные. Если количество переменных велико, приходится перебирать очень много комбинаций и вычисление становится громоздким. Так, для 4 переменных речь идет о 16 комбинациях, а для 5 переменных – уже о 32. Если при этом в правой или левой части уравнения содержится громоздкое выражение, то может потребоваться большое количество расчетов;
• сведение к одному уравнению. Этот метод позволяет трансформировать систему со сравнительно небольшим количеством уравнений, если каждое из них достаточно простое. Логические уравнения преобразуют таким образом, чтобы в правой части каждого из них получилось одно и то же выражение. После этого уравнения объединяются с помощью конъюнкции. Далее к собранному выражению применяют законы алгебры логики и получают решение исходной системы;
• замена переменной. Это универсальный метод решения сложных математических уравнений. На первом этапе каждое из входящих в систему уравнений максимально упрощают (в соответствии с законами алгебры логики), а затем повторяющиеся части заменяют новыми переменными. После этого определяют количество решений новой системы и возвращаются к замене, определяя окончательное количество решений;
• отображение. Этот метод не только позволяет решить сложную систему логических уравнений, но и компактно оформить процесс решения. В основе метода отображений лежит предположение, что, зная количество пар ($x_{k}, x_{k+1}$ ) можно определить количество пар ( $x_{k+1}, x_{k+2}$ ) и тем самым получить общее количество решений для первого уравнения, входящего в систему. Далее полученное правило применяют к остальным парам переменных и получают итоговое решение системы.

Все перечисленные методы универсальны и могут взаимодополнять друг друга. Только анализ особенностей конкретной системы, ее вида позволяет выбрать оптимальный метод или их сочетание.

Логические операции в логических уравнениях

В логических уравнениях чаще всего встречаются следующие базовые логические операции:

• отрицание (инверсия). Эта операция применяется к одному аргументу (переменной или целому выражению). Если аргумент истинный, в результате будет получена ложь; если аргумент ложный – истина;
• дизъюнкция (логическое сложение, «или»). Эта операция объединяет два выражения (или переменные). В результате ее применения получается истина, если хотя бы один из исходных аргументов истинный. Единственный вариант, когда результатом дизъюнкции будет ложь – ложность всех входящих в нее аргументов;
• конъюнкция (логическое умножение, «и»). Эта операция соответствует пересечению двух выражений (или переменных). Ее результат будет истинным в том и только том случае, когда истинны все входящие в нее аргументы. Если хотя бы один из аргументов ложен, ложной будет и вся конъюнкция;
• импликация (логическое следование, «если-то»). Эта операция связывает два аргумента (выражения, переменных), первый из которых называется условием (посылкой), а второй следствием (заключением). Ложной импликация будет только в одном случае – если посылка истинна, а заключение ложно. Иными словами, из ложной посылки может следовать как ложь, так и истина, а из истинной – только истина;
• эквивалентность (равнозначность, «тогда и только тогда, когда»). Эта операция связывает два аргумента и истинна, если они принимают одинаковые значения (оба ложны или оба истинны). Если аргументы разные по истинностной характеристике, то эквивалентность ложна;
• строгая дизъюнкция (исключающее «или», сложение по модулю 2). Эта операция связывает два аргумента. Она истинна, если один из аргументов истинный, а второй ложный. В случае равенства истинностных характеристик аргументов (оба истинны или оба ложны) результатом применения строгой дизъюнкции будет ложь.

Как и в случае с арифметическими операциями, логические операции выполняются в установленном порядке, имея разные приоритеты:

1. Действия в скобках.
2. Инверсия.
3. Конъюнкция.
4. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция.
5. Импликация и эквивалентность.

Таким образом, для логического сложения и умножения действует тот же порядок, что и для одноименных арифметических операций.

Соблюдение порядка выполнения операций в уравнении важно, т. к. нарушение приоритетов может привести к изменению результата вычисления выражения.