Логические парадоксы

Общая характеристика логических парадоксов

В широком смысле парадокс можно определить как позицию, сильно отличающуюся от устоявшихся, ортодоксальных, общепринятых мнений. В более узком (особом, логическом) смысле парадокс – это пара несовместимых, противоположных утверждений, для которых сформулированы аргументы, кажущиеся убедительными. Самой сложной формой парадокса является антиномия – аргумент, доказывающий эквивалентность двух утверждений, одно из которых отклоняется от другого.

Особенную известность парадоксы получили в наиболее точных и строгих науках – логике и математике. Это связано с абстрактным характером логики, в которой нет эмпирических экспериментов; даже факты в обычном понимании отсутствуют. В рамках логики строятся свои системы, и этот процесс начинается с анализа реального мышления. Результаты подобного анализа неделимые, синтетические. Они отличаются от утверждений о конкретных событиях или процессах, которые должны объясняться теорией. Логический анализ не является наблюдением – в ходе наблюдения исследуется конкретное явление. Выстраивая новую теорию, ученый отталкивается от наблюдаемых в опыте фактов. Независимо от степени свободы творческого воображения, он должен принимать во внимание обязательное обстоятельство – смысл имеет только та теория, которая согласуется с фактами. Отклоняющаяся от фактов и наблюдений теория, даже если ее изобрели, не имеет ценности.

Поскольку в логике нет экспериментов, фактов и даже наблюдения как такового, логическое воображение мало чем сдерживается. Возникающее между логической теорией и практическим мышлением несоответствие может проявляться как более или менее острый логический парадокс или даже логическая антиномия, указывающая на внутренние противоречия теории. Этим объясняется значимость логических парадоксов.

Парадокс лжеца

До нас дошло самоопровергающее утверждение, сформулированное Эпименидом Кносским (7-6 века до нашей эры). Этот мыслитель, будучи критянином, утверждал, что все критяне – лжецы. Получается, если его высказывание истинно, то оно автоматически становится ложным. Это не полный парадокс, лишь его половина, ведь высказывание Эпименида может быть ложью (неправда, что все критяне лжецы). Иными словами, некоторые критяне не лжецы – это не мешает другим (в том числе Эпимениду) быть лжецами.

В 4 веке до нашей эры Эвбулид Милетский сформулировал парадокс лжеца в завершенной форме. Он сказал: «Я лгу». Это высказывание ложно, только если истинно – и истинно, только если ложно. Поэтому нельзя однозначно определить, сказал ли Эвбулид правду или ложь.

Более поздняя философская литература содержит разновидность парадокса Эвбулида, получившую название «циклический лжец». Суть этого парадокса состоит в том, что одно самореферентное суждение заменяется парой ссылающихся друг на друга суждений, одно из которых утвердительное, а другое отрицательное. Пример циклического лжеца:

• Платон говорит, что Сократ – лжец;
• Сократ говорит, что Платон прав.

Таким образом, возникает бесконечный цикл:

• первое суждение отрицает второе и фактически указывает на собственную ложность;
• второе суждение подтверждает первое и тем самым тоже утверждает собственную ложность.

Парадокс Рассела (парадокс брадобрея)

Часто формально-логические парадоксы называют теоретико-множественными, потому что они возникают в теории множеств – разделе логической науки, который описывает наши способы образования понятий и операции над ними. Одним из примеров является парадокс Рассела.

Парадокс Рассела назван в честь английского философа и логика Бертрана Рассела (1872-1970), который в 1901 году обнаружил в принятой на тот момент версии логического обоснования математики фатальную уязвимость – возможность образования «множества всех множеств».

В парадоксе Рассела речь идет о следующем. Поскольку множества тоже могут быть элементами, образующими множество, реально сформировать множество всех множеств. Однако поскольку оно само тоже является множеством, необходимо включение его в себя само в качестве элемента. Это заставляет ввести деление множеств на два типа:

• нормальные, не включающие себя как элемент (например, множество всех фруктов само не будет являться фруктом);
• ненормальные, включающие себя как элемент (например, каталог всех каталогов – это тоже каталог).

Следующий логический шаг состоит в том, чтобы задаться вопросом: можно ли образовать множество всех нормальных множеств? Предположим, что удалось сформировать такое множество. Назовем его К. Очевидно, что оно может являться нормальным или ненормальным. Если оно нормальное, то по определению К, его нужно включить в само себя – и тем самым оно превратится в ненормальное. Если оно ненормальное, то содержаться в себе оно не должно (т.к. его элементы – только нормальные множества). Соответственно, оно превращается в нормальное.

Для иллюстрации своего парадокса Рассел предложил следующую ситуацию, определившую второе название парадокса – «парадокс брадобрея». Предположим, что в деревне есть всего один брадобрей. В его обязанности входит брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. Встает вопрос – должен ли он брить себя?

Встав утром, брадобрей принимает решение побриться. Поскольку коллег в деревне нет, ему приходится бриться самому. Однако это превращает его в бреющегося самостоятельно человека – а таких людей он брить не должен. Он прерывает процесс бритья, при этом утрачивая статус бреющегося самостоятельно человека. Таких людей он должен брить как профессионал. Противоречие неразрешимо.

Парадокс Рассела стимулировал математиков и философов XX века разрабатывать неклассические модели рассуждения, а также уточнять понятия «множество», «элемент», «множество множеств».