Общая характеристика формализма
Философский смысл теорем об ограничениях формализмов – это идея, в соответствии с которой формальные системы не могут давать достаточно информации для достижения истины в любой области, т. е. формальные системы не могут быть использованы для того, чтобы обеспечить истинность любых утверждений, даже если эти утверждения имеют формальную форму: вместо этого требуется дополнительная информация, которая не может быть предоставлена формальными системами, поэтому теорема об ограничениях формализмов подчеркивает важность дополнительных предпосылок и информации для достижения истины.
Формализм как философское направление оспаривает звание любимого у математиков. Он ориентирован на то, чтобы разрешить все проблемы. Математика – формальная игра, основной проблемой которой является непротиворечивость. Рядовой математик всего лишь хочет получить уверенность в том, что у его работы есть прочное основание. Поэтому привлекательной представляется возможность избежать трудностей с помощью программы Гильберта.
При этом было бы некорректно рассматривать формализм как отступление перед трудностями. Многие из формалистов принимали его по убеждениям.
В формальной концепции числа устанавливаются ограничения, менее жесткие, чем в логической. Она не занимается изучением сущности и значения чисел, а концентрируется на их арифметическом применении. В формальной концепции арифметика – это игра с символами, являющимися пустыми. Это значит, что в игре под называнием «вычисления» они не имеют никакого другого содержания, кроме как присвоенного с учетом их поведения в контексте связи с установленными правилами игры (правилами взаимоотношений). Аналогично пользуется фигурами шахматист: каждой из них он присваивает определенные качества, задающие игровое поведение, при этом каждая из фигур – лишь внешний символ этого поведения. Отличие шахмат и арифметики состоит лишь в том, что для фигур устанавливаются произвольные правила, а чисел – такие, которые позволяют посредством простых аксиом привести числа в соответствие с некоторыми интуитивными истинами.
В работе с формальными системами можно выделить два момента:
- механический аспект предполагает слепой вывод внутри системы в соответствии с правилами этой системы;
- второй аспект предусматривает построение самой системы: выбор языка, правил и аксиом, устанавливающих границы возможных символических действий.
Существует несколько версий формализма. По утверждению некоторых исследователей, непротиворечивость – это единственное необходимое свойство формальных систем. Однако в соответствии со второй теоремой Гёделя о неполноте, ее нельзя доказать внутри системы. Для математиков, работающих внутри формальной арифметики, доказательство непротиворечивости выступает в роли нематематического доказательства, внешнего по отношению к этой системе.
Обращают на себя внимание философские и методологические достижения программы формализма, вошедшие в основу современной науки. Методами формализма были исследованы неклассические, в первую очередь интуиционистские, системы, что позволило показать совместимость идей Брауэра о творящем субъекте и намеренном незнании с более традиционными идеальными математическими понятиями. Различение идеальных и реальных объектов проложило путь к таким новым по своей методологии разделам математики, как нестандартный анализ, в котором действительная ось либо другая структура пополняются объектами более высокой степени идеальности таким образом, чтобы сохранялись все выразимые в формальном языке свойства. Разделение на язык и метаязык оказалось плодотворным не только в логике и философии, но и в таких новых дисциплинах, как когнитивная наука и информатика.
Теоремы, ограничивающие формализм
В арифметике есть истинные положения, которые невозможно доказать. В традициях математики и логики это положение может показаться тривиальным, не заслуживающим столь сложного доказательства, как приводится для теорем Гёделя. Это указание утверждает, что существуют аксиомы – истинные, но недоказуемые положения. После того, как было предположено, что все аксиомы доказуемы (в математической логике нет недоказуемых формул и положений), и была сформулирована стратегия полноты логической системы, а также характеристики и фильтры для формализованных логических систем (предикатов, высказываний), доказательство Гёделя стало возможно. Это доказательство не затрагивает вопросов истины, концентрируясь на формализации, критерий которой не связан с истиной непосредственно. В этом смысле попарно пересекающиеся множества не являются ни истинными, ни ложными (подобно любым другим предметам). Высказывание о равнозначности попарно непересекающихся множеств находится на стыке формализма и истины. В соответствии с формальным подходом, никакие предметы не обладают истинностной характеристикой – она есть только у:
- высказываний,
- предложений,
- пропозиций,
- формул,
- знаковых последовательностей.
Содержательное соответствие конкретных предметов понятиям или понятий выделенным предметам не входит в сферу интересов формальной математической логики.
Первая теорема Гёделя гласит, что для достижения истины математических утверждений достаточно иметь фиксированное количество предпосылок. Эта теорема предполагает, что предпосылки должны быть достаточно для достижения истинного результата. Таким образом, первая теорема Гёделя указывает на важность предпосылок для достижения математической истины.
Вторая теорема Гёделя гласит, что не все математические утверждения достижимы предпосылками. То есть, для достижения истины некоторых утверждений требуются дополнительные предпосылки, которые не могут быть получены из имеющихся предпосылок. Поэтому вторая теорема Гёделя подчеркивает важность дополнительных предпосылок для достижения истины в математике.
