Зависимые выборки. Постановка задачи о различии средних для зависимых выборок

Лекция 8. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ (ЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ) 1. Постановка задачи о различии средних для зависимых выборок Существует много практических задач, в которых две сравниваемые выборки взаимосвязаны в силу особенностей организации эксперимента или просто потому, что этой взаимосвязи нельзя избежать. Примеры зависимых выборок: - первая и вторая выборки состоят из наблюдений типа «до – после»; - первая выборка – совокупность значений времени самостоятельного выполнения задания, а вторая – совокупность значений времени выполнения задания под наблюдением и при руководстве преподавателя. В практике психологических, педагогических, медицинских исследований часто используются так называемые парные сравнения. При парных сравнениях нельзя использовать методы для независимых выборок, поскольку это приведет к большим ошибкам. Для сравнения средних значений здесь используется модификация t -критерия Стьюдента для зависимых выборок. Постановка задачи. Даны две зависимые выборки объема n , то есть связанные пары наблюдений:  x1, y1  , x2 , y2  , …, xn , yn . Проверяется гипотеза H 0 о равенстве математических ожиданий a x  a y . Альтернативной гипотезой H1 является гипотеза a x  a y . Критерий (правило) проверки гипотезы 1. Формулируем нулевую гипотезу H 0 : x  y , что генеральные средние равны. 2. Формулируем альтернативную гипотезу Н1 : x  y . 3. Назначаем уровень значимости  . 4. Делаем предположение о нормальном распределении разностей di  xi  yi . 5. Вычисляется эмпирическое значение t -критерия по формуле t эмп  d  n, Sd n 1 n 1   ( xi  y i ) ; S d    (d i  d ) 2 . n i 1 n  1 i 1 6. По таблице критических значений t -критерия распределения Стьюдента находится критическое значение t кр (, k ) при уровне значимости  и числе степеней свободы где величины d  k  n  1. 7. Сравниваем t эмп и t кр . Если t эмп  t кр , то гипотеза H 0 отклоняется, так как t эмп. попало в критическую область. Значит, наблюдаемое различие между средними значениями двух связанных выборок значимо на уровне значимости  . Если t эмп  t крит , то различие между средними значениями двух связанных выборок статистически незначимо. 2. Задача об оценке различия средних значений признака в зависимых выборках Задача. Группа школьников ( n  10 ) в течение летних каникул находилась в спортивном лагере. До и после сезона у них измерили жизненную емкость легких (признак X ). До «эксперимента» ( x i , мл): 3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400, 3200, 3400. После «эксперимента» ( y i , мл): 3800, 3700,3300, 3600, 3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600. По результатам измерений нужно определить, значимо ли изменился этот показатель под влиянием интенсивных физических упражнений. Решение. Вычислим средние значения жизненной емкости легких школьников до эксперимента x 3400  3600  3000  3500  2900  3100  3200  3400  3200  3400  3270 10 и после эксперимента y 3800  3700  3300  3600  3100  3200  3200  3300  3500  3600  3430 . 10 Как оказалось, средние значения двух зависимых выборок различаются. Определим, значимо ли это различие. Будем считать, что разности d i  xi  yi имеют нормальное распределение. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве средних значений жизненной емкости легких школьников до и после спортивного сезона H 0 : x  y . В качестве альтернативной возьмем двустороннюю гипотезу H 1 : x  y . Выбираем уровень значимости   0,05 . Имеем две зависимые (связанные) выборки объема n  10 . Для удобства результаты вычислений проведем в таблице. Расчетная таблица критерия t -Стьюдента для зависимых выборок Значения признака Разности связанных Квадраты Номер пар результатов отклонений до после школьн эксперимента эксперимент измерений d i2  ( xi  yi ) 2 ика di  xi  yi ( xi ) а ( yi ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма Среднее 3400 3600 3000 3500 2900 3100 3200 3400 3200 3400 32700 3800 3700 3300 3600 3100 3200 3200 3300 3500 3600 34300 - 400 - 100 - 300 - 100 - 200 - 100 100 - 300 - 200 - 1600 х  3270 y  3430 1 n d    di  160 n i 1 1600 10000 90000 10000 40000 10000 10000 90000 40000 460000 – Вычислим среднее арифметическое разностей d i : 1 n 1 d    d i    400  100  300  100  200  100  0  100  300  200  160 . n 10 i 1 Теперь вычислим для разностей d i «исправленную» выборочную дисперсию (так как n 1 2  d 2  (d ) 2 , получим: объем выборки меньше 30) по формуле S  d n 1  i i 1 1 S 2    400 2  100 2  300 2  100 2  200 2  100 2  0  100 2  300 2  200 2   (160) 2  d 9    25511,11. Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно S d  и эмпирическое значение t -критерия: t эмп  25511,11  159,72 d  160  n  10  3,17 . Sd 159,72 Найдем критическое значение распределения Стьюдента t крит (0,05; 9)  2,262 для уровня значимости   0,05 и числа степеней свободы k  n  1  9 . Так как альтернативная гипотеза H 1 : x  y  0 , то критическая область двусторонняя. Строим ось значимости для t -критерия Стьюдента, на которой отмечаем значение t эмп  3,17 . Критическая область (различия значимы) t эмп  3,17 Критическая область (различия значимы) Область допустимых значений t кр  2,262 t кр  2,262 t Значение t эмп  2,238 попало в область допустимых значений, поэтому показатели жизненной емкости легких школьников до и после спортивного лагеря значимо различаются с достоверностью 0,95. Контрольные вопросы 1. Опишите последовательность действий применения критерия Стьюдента для зависимых выборок. 2. Каковы особенно применения критерия Стьюдента для зависимых выборок