Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты

3. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты Пусть функция f (x, y) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области D . Тогда существует двойной интеграл ZZ f (x, y)dxdy. D Предположим, далее, что с помощью преобразования x = x(u, v), y = y(u, v) (1) мы переходим к новым переменным u , v . Будем считать, что u и v определяются из (1) единственным образом: u = u(x, y), v = v(x, y). (2) С помощью формул (2) каждой точке M (x, y) из области D ставится в соответствие некоторая точка M ∗ (u, v) на координатной плоскости с координатами u , v . Пусть множество всех точек M ∗ (u, v) образует замкнутую ограниченную область D∗ . Величины u и v можно рассматривать как криволинейные координаты точек области D. Рассмотрим определитель ¯ ¯ ¯ ∂x ∂x ¯ ∂(x, y) ¯¯ ∂u ∂v ¯¯ J= =¯ (3) ¯, ∂(u, v) ¯ ∂y ∂y ¯ ¯ ¯ ∂u ∂v который называется определителем Якоби1 , или якобианом, функций перехода от переменных (x, y) к переменным (u, v) . Теорема 1. Пусть функция f (x, y) интегрируема в некоторой замкнутой ограниченной области D . Если преобразование (1) переводит D в замкнутую ограниченную область D∗ и является взаимно однозначным, причем функции (1) имеют в D∗ непрерывные частные производные первого порядка с отличным от нуля якобианом (3), то справедлива формула замены переменных ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f [x(u, v), y(u, v)]|J|dudv. (4) D D∗ В двойном интеграле, как и в определенном, замена переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления. Наиболее употребительными из криволинейных координат являются полярные координаты. Напомним, что полярная система координат задается полюсом O и полярной осью OP . Любая точка M в полярной системе координат определяется парой чисел (r, ϕ) , где r — расстояние от точки M до полюса O , а ϕ — угол между осью 1 Якоби Карл Густав Якоб (1804–1851) — немецкий математик. 1 OP и лучом OM , отсчитываемый от полярной оси. Совместим начало прямоугольной системы координат XOY с полюсом, а положительную полуось оси OX — с полярной осью (рис. 1.12). Тогда можно написать зависимость между координатами точки M в полярной и прямоугольной системах координат: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Вычислим якобиан (3), считая u = r , v = ϕ : ¯ ¯ ¯ cos ϕ −r sin ϕ ¯ ¯ = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = r. ¯ J =¯ sin ϕ r cos ϕ ¯ Тогда формула (4) преобразования двойного интеграла при переходе от прямоугольных координат к полярным примет вид ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. (5) D∗ D Y 6 ¢ ¢ r2 (ϕ) ¢ ¢¢ ¢¢ D ¢ © r1 (ϕ) `` ©© © ¢` © © ¢ ©©© β© ¢© α r ¢© - rM ¡ ¡ y r¡ ¡ ¡ϕ O r ¡ - x O X Рис. 1.12 P Рис. 1.13 Отметим, что переходить к полярным координатам удобно в том случае, когда область интегрирования D есть круг, кольцо либо их часть. Если область интегрирования D ограничена двумя лучами ϕ = α и ϕ = β ( α < β ), выходящими из полюса, и двумя кривыми r = r1 (ϕ) , r = r2 (ϕ) , где r1 (ϕ) и r2 (ϕ) — однозначные функции при α ≤ ϕ ≤ β и r1 (ϕ) ≤ r2 (ϕ) (рис. 1.13), то двойной интеграл в правой части (5) вычисляется как ZZ Zβ F (r, ϕ)drdϕ = D∗ где F (r, ϕ) = rf (r cos ϕ, r sin ϕ) . Пример 1. rZ 2 (ϕ) dϕ α F (r, ϕ)dr, r1 (ϕ) ZZ ex Вычислить интеграл G 2 +y 2 dxdy, где G — четверть круга x2 + y 2 ≤ 1 , расположенная в первом квадранте (рис. 1.14). РЕШЕНИЕ. Перейдем к полярным координатам по формулам x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ . Тогда x2 + y 2 = ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = ρ2 . Наглядно видно, что в области G радиус ρ изменяется от 0 до 1, а угол ϕ — от 0 до π/2 . Иначе говоря, 2 область G преобразуется в прямугольник G∗ = {0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π/2} (рис. 1.14). По формуле (5) имеем ZZ ZZ x2 +y 2 e dxdy = G∗ G 1 = 2 Zπ/2 Z1 Zπ/2 Z1 2 21 e ρ dρdϕ = dϕ eρ ρ dρ = dϕ eρ d(ρ2 ) = 2 ρ2 Zπ/2 Zπ/2 1 1 π π/2 ρ2 1 dϕ e |0 = (e − 1) dϕ = (e − 1)ϕ|0 = (e − 1). 2 2 4 Рис. 1.14. Пример 2. Вычислить интеграл ZZ I = y dxdy, где множество D D = {x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 6x, y ≤ x} . РЕШЕНИЕ. Линии x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 6x — это окружности с центрами в точках (1; 0), (3; 0) и радиусами 1, 3 соответственно (рис. 1.15). Действительно, x2 + y 2 − 2x = 0, ⇒ (x2 − 2x + 1) − 1 + y 2 = 0 ⇒ (x − 1)2 + y 2 = 1, x2 + y 2 − 6x = 0 ⇒ (x2 − 6x + 9) − 9 + y 2 = 0 ⇒ (x − 3)2 + y 2 = 9. Прямая y = x проходит через начало координат под углом π/4 к оси Ox . Перейдем к полярным координатам: x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . Уравнения окружностей в полярной системе координат запишутся как r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = 2r cos ϕ ⇒ r = 2 cos ϕ, r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = 6r cos ϕ ⇒ r = 6 cos ϕ. Множество D преобразуется в D∗ = −π/2 ≤ ϕ ≤ π/4} . Применяя формулу (5), получаем ZZ Zπ/4 2 I= r sin ϕ drdϕ = D∗ 6Z cos ϕ sin ϕ dϕ −π/2 {2 cos ϕ 2 cos ϕ 3 Zπ/4 2 r dr = −π/2 ≤ r ≤ ¯6 cos ϕ r3 ¯¯ = sin ϕ dϕ · ¯ 3 2 cos ϕ 6 cos ϕ, µ Zπ/4 = sin ϕ ¶ Zπ/4 216 8 208 3 3 cos ϕ − cos ϕ dϕ = cos3 ϕ sin ϕ dϕ = 3 3 3 −π/2 −π/2 208 =− 3 Zπ/4 ¯π/4 208 cos4 ¯¯ 13 · cos ϕ d(cos ϕ) = − =− . ¯ 3 4 −π/2 3 3 −π/2 Рис. 1.15. 4