Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Лекция 13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема 13.1. Если: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], 2) функция φ(t) непрерывна и имеет непрерывную производную φ΄(t) на отрезке [α,β], где a = φ(α), b = φ(β), 3) функция f (φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [α,β], то . (13.1) Доказательство. Если F(x) – первообразная для f(x), то , (см. теорему 6.2). Тогда, используя формулу Ньютона – Лейбница, получим: , откуда следует справедливость формулы (13.1). Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, так как результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной. Пример. Вычислить интеграл . Сделаем замену: откуда . При этом Тогда = Теорема 13.2. Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то . (13.2) (Формула (13.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла). Доказательство. . Все интегралы в этом равенстве существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. При этом , поэтому , откуда следует (13.2). Примеры. 1. Вычислить интеграл . Пусть u = x, dv = exdx. Тогда du = dx, v = ex. Применим формулу (13.2): . 2. . (При интегрировании принималось u = x, v = arcsinx). 3. Вычислить . Пусть u = ex, dv = sinxdx. Тогда du = exdx, v = -cosx. Следовательно, = . Применим к интегралу в правой части полученного равенства еще раз формулу интегрирования по частям, положив u = ex, dv = cosxdx: = . Поскольку при этом в правой части равенства стоит такой же интеграл, как в левой, его значение можно найти из уравнения: 2 = eπ + 1 , то есть = Геометрические приложения определенного интеграла. 1. Вычисление площадей плоских фигур. Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) ≥ 0) сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой . Переходя к пределу при |τ|→0, получаем, что при представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции aА1В1b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции у у y=f(x) y=f2(x) A1 B1 y=f1(x) a b х a b x Рис. 1 Рис. 2 f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, x = b и у = 0 (рис. 1): . (13.3) Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: f1(x) и f2(x) (рис. 2), то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции f2(x), а второй – f1(x). Таким образом, . (13.4) Замечание 1. Формула (13.4) справедлива, если графики функций f1(x) и f2(x) не пересекаются при a < x < b. Замечание 2. Функции f1(x) и f2(x) могут при этом принимать на интервале [a,b] значения любого знака. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² - 3x – 5 и y = x – 5. Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни уравнения x² - 3x – 5 = x – 5. x² - 4x = 0, x1 = a = 0, x2 = b = 4. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [0,4] прямая y = x – 5 проходит выше параболы у = x² - 3x – 5, формула (13.4) примет вид: Лекция 14. Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел. Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из него луча (полярной оси). у М ρ М φ у=ρsinφ ρ O O x=ρcosφ x Рис. 1 Рис. 2 Координатами точки М в этой системе (рис. 1) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении. Замечание. Если ограничить значения φ интервалом [0,π] или [-π, π], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат (ρ,φ). В других случаях можно считать, что φ может принимать любые значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π. Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 2). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда , tg. Выясним, как с помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, границы которой заданы в полярных координатах. а) Площадь криволинейного сектора. ρ=ρ1(φ) ρ=ρ(φ) ρ=ρ2(φ) β α β α О О Рис. 3 Рис. 4 Найдем площадь фигуры, ограниченной частью графика функции ρ=ρ(φ) и отрезками лучей φ = α и φ = β. Для этого разобьем ее на п частей лучами φ = φi и найдем сумму площадей круговых секторов, радиусами которых служат где Как известно, площадь сектора вычисляется по формуле где r – радиус сектора, а α – его центральный угол. Следовательно, для суммы площадей рассматриваемых секторов можно составить интегральную сумму , где . В пределе при получим, что площадь криволинейного сектора . (14.1) б) Площадь замкнутой области. Если рассмотреть замкнутую область на плоскости, ограниченную кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах в виде и (), а полярный угол φ принимает для точек внутри области значения в пределах от α до β (рис. 4), то ее площадь можно вычислять как разность площадей криволинейных секторов, ограниченных кривыми и , то есть . (14.2) Пример. Вычислим площадь области, заключенной между дугой окружности x² + y² = 1 и прямой x = при . В точках пересечения прямой и окружности , то есть полярный угол φ изменяется внутри области в пределах от до . Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид ρ = 1, уравнение прямой - , то есть . Следовательно, площадь рассматриваемой области можно найти по формуле (14.2): . 2. Длина дуги кривой. а) Длина дуги в декартовых координатах. у y = f(x) Рассмотрим функцию y = f(x), непрерывную Δуi на отрезке [a,b] вместе со своей производной. Δхi Выберем разбиение τ отрезка [a,b] и будем считать длиной дуги кривой, являющейся графиком f(x), от х=а до x=b предел при |τ|→0 длины ломаной, проведенной через точки графика с абсциссами х0 , х1 ,…, хп (точками а xi-1 xi b разбиения τ) при стремлении длины ее наибольшего звена к нулю: Рис. 5 . (14.3) Убедимся, что при поставленных условиях этот предел существует. Пусть . Тогда (рис. 5). По формуле конечных приращений Лагранжа , где xi-1 < ξi < xi . Поэтому , а длина ломаной . Из непрерывности f(x) и следует и непрерывность функции , следовательно, существует и предел интегральной суммы, являющейся длиной ломаной, который равен . Таким образом, получена формула для вычисления длины дуги: . (14.4) Пример. Найти длину дуги кривой y = ln x от х = до х = . . Сделаем замену: , тогда , а пределами интегрирования для u будут u=2 (при х = ) и и = 4 (при х = ). Получим: . б) Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме. Если уравнения кривой заданы в виде , где а φ(t) и ψ(t) – непрерывные функции с непрерывными производными, причем φ΄(t) ≠ 0 на [α,β], то эти уравнения определяют непрерывную функцию y = f(x), имеющую непрерывную производную . Если то из (14.4) или . (14.5) Замечание. Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями , то при указанных ранее условиях . (14.6) в) Длина дуги в полярных координатах. Если уравнение кривой задано в полярных координатах в виде ρ = f(φ), то x = ρ cos φ = f(φ)cos φ, y = ρ sin φ = f(φ)sin φ – параметрические уравнения относительно параметра φ. Тогда для вычисления длины дуги можно использовать формулу (14.5), вычислив предварительно производные х и у по φ: Следовательно, , поэтому (14.7) Пример. Найти длину дуги спирали Архимеда ρ = φ от φ = 0 до φ = 2π . (были применены замены φ = tg t и u = sint). 3. Вычисление объемов тел. Пусть имеется некоторое тело, для которого известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, являющаяся функцией от х: Q = Q(x). Определим объем рассматриваемого тела в предположении, что Q – непрерывная функция. Если значение х внутри тела меняется от а до b, то можно разбить тело на слои плоскостями х = х0 = а, х = х1, х = х2,…, х = хn = b. Затем выберем в каждом слое значение х = ξi , xi-1 ≤ ξi ≤ xi , и рассмотрим сумму объемов цилиндров с площадями оснований Q(ξi) и высотами Δxi = xi – xi-1 . Эта сумма будет равна . Получена интегральная сумма для непрерывной функции Q(x) на отрезке [a,b] , следовательно, для нее существует предел при | τ | → 0, который равен определенному интегралу , (14.8) называемому объемом данного тела. Замечание. Если требуется определить объем так называемого тела вращения, то есть тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной частью графика функции y = f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, х = b и у =0, то площадь сечения такого тела плоскостью x = const равна , и формула (14.8) в этом случае имеет вид: . (14.9) Пример. Найдем объем эллипсоида вращения . При x = const сечениями будут круги с радиусом и площадью . Применим формулу (14.8), учитывая, что х изменяется от –2 до 2: v = . 4. Площадь поверхности тела вращения. Пусть требуется определить площадь поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси Ох при . Выберем разбиение τ отрезка [a,b] и рассмотрим, как и при определении длины кривой, ломаную, проходящую через точки кривой с абсциссами xi . Каждый отрезок такой ломаной при вращении опишет усеченный конус, площадь боковой поверхности которого равна . По формуле конечных приращений Лагранжа , где . Поэтому . Следовательно, площадь всей поверхности, описанной ломаной при вращении, равна . Назовем площадью поверхности вращения предел этой суммы при maxΔli →0 . Заметим, что эта сумма не является интегральной суммой для функции , так как в каждом ее слагаемом фигурирует несколько точек данного отрезка разбиения. Однако можно доказать, что предел такой суммы равен пределу интегральной суммы для , откуда получаем формулу для площади поверхности вращения: . (14.10) Пример. Вычислим площадь поверхности, полученной вращением части кривой от х = 0 до х=1. Используя формулу (14.10), получим: . Лекция 15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости. В предыдущих лекциях рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей (криволинейных трапеций). Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить, либо приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (то есть неограниченной). Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х ≥ а. Тогда интеграл имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией аргумента b. Определение 15.1. Если существует конечный предел , (15.1) то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на интервале и обозначают . Таким образом, по определению =. (15.2) При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела (15.1), несобственный интеграл не существует или расходится. y Повторим, что геометрической интерпрета- y=f(x) цией несобственного интеграла 1-го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком функции y=f(x) , прямой х = а и осью Ох. a b Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов: (15.3) В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства. Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение. Лемма. Если на интервале [a, +∞), то для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов (b > a) было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постоянная c > 0, чтобы выполнялось неравенство . (15.4) Доказательство. Рассмотрим функцию и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает на [a, +∞). Действительно, при = + + =g(b), так как при 0. Следовательно, функция g(b) монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет конечный предел при , что по определению означает существование интеграла . Теорема 15.1 (признак сравнения). Пусть при . Тогда: 1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ; 2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл . Доказательство. Из условия теоремы следует, что . Поэтому, если интегралы ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы , следовательно, сходится (по той же лемме). Если же интеграл расходится, то, если бы интеграл сходился, то по ранее доказанному должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае расходится. Теорема полностью доказана. Следствие. Пусть на [a,∞), и существует конечный или бесконечный предел , то: а) если интеграл сходится и , то сходится и интеграл ; б) если интеграл расходится и , то интеграл тоже расходится. В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и φ(х) эквивалентны при , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , α > 0, для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть тогда . При α = 1 . Следовательно, сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Пример. Исследуем на сходимость . При подынтегральная функция эквивалентна . Таким образом, α = 2 > 1, и данный интеграл сходится. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода. Определение 15.2. Несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на [a,∞). Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла (критерий Коши) – без доказательства. Для того, чтобы абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое η, что при η΄ > η, η΄΄ > η . Теорема 15.2. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле. Доказательство. Согласно критерию Коши . Следовательно, существует конечный предел при , то есть рассматриваемый интеграл сходится. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (несобственные интегралы 2-го рода). Определение 15.3. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при a ≤ x < b и имеет разрыв при x = b. Тогда определяется следующим образом: (15.5) и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы от функции, имеющей разрыв при х = а: и от функции, разрывной в точке с (a x0) и назовем шагом вычисления h длину отрезка [xi-1 , xi ] . Заменим на отрезке [x0 , x1] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0 , у0). Ордината этого отрезка при х = х1 равна y1 = y0 + hy0΄, где у0΄ = f(x0 ,y0). Так же найдем y2 = y1 + hy1΄, где y1΄= f(x1 ,y1); y3 = y2 + hy2΄, где y2΄= f(x2 ,y2); . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yn = yn-1 + hy΄n-1 , где y΄n-1 = f(xn-1 ,yn-1). Можно предположить, что при построенные таким образом ломаные Эйлера приближаются к графику искомой кривой. Доказательство этого утверждения будет дано в следующей теореме: Теорема 16.1 (теорема существования и единственности решения). Если в уравнении функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D: (16.5) и удовлетворяет в D условию Липшица: | f(x, y1) – f(x, y2) | ≤ N | y1 – y2 |, (16.6) где N – постоянная, то существует единственное решение ,уравнения (16.2), удовлетворяющее условию (16.3) , где в D . Замечание 1. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при , так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника (16.5), и тогда решение может быть не определено. Замечание 2. Условие Липшица (16.6) можно заменить более сильным требованием в D. Тогда по теореме Лагранжа , где . Таким образом, и . Поэтому . Доказательство теоремы 16.1. Заменим уравнение (16.2) с начальным условием (16.3) эквивалентным интегральным уравнением . (16.7) Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение (16.2), будет решением и уравнения (16.7). Построим ломаную Эйлера у = уп(х), исходящую из точки (х0 ,у0) с шагом на отрезке [x0 , x0 + H] (аналогично можно доказать существование решения на [x0 – H, x0]). Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения: 1) Последовательность у = уп(х) равномерно сходится. 2) Функция является решением интегрального уравнения (16.7). 3) Решение уравнения (16.7) единственно. Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера при , или . (16.8) Обозначим , тогда в силу равномерной непрерывности f(x) в D (16.9) при , где при , так как , а и при . Интегрируя (16.8) по х в пределах от х0 до х и учитывая, что , получим: . (16.10) Так как п – любое целое положительное число, то для любого m > 0 , откуда . Тогда из (16.9) и условия Липшица следует, что . Следовательно, , откуда при , то есть последовательность непрерывных функций уп(х) равномерно сходится при к непрерывной функции . Итак, утверждение 1) доказано. Доказательство 2). Перейдем в (16.10) к пределу при : . (16.11) В силу равномерной сходимости уп(х) к и равномерной непрерывности f(x,y) в D последовательность f(x,yn(x)) равномерно сходится к f(x, ). Действительно, при , что выполняется при . Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что , где при , получим из (16.11): , то есть удовлетворяет уравнению (16.7). Утверждение 2) доказано. Доказательство 3). Предположим, что существуют два различных решения уравнения (16.7) у1(х) и у2(х), то есть | y1(x) – y2(x) | ≠ 0. Тогда, подставляя эти функции в (16.7) и вычитая полученные равенства друг из друга, получим: , откуда | y1(x) – y2(x)| = ≤.Применим к этому неравенству условие Липшица: | y1(x) – y2(x)|≤ N| y1(x) – y2(x)| =NH| y1(x) – y2(x)|. Если| y1(x) – y2(x)| ≠ 0, то полученное равенство: | y1(x) – y2(x)| ≤ NH | y1(x) – y2(x)| противоречиво, так как по условию теоремы . Следовательно, | y1(x) – y2(x)| = 0, то есть у1(х) ≡ у2(х). Лекция 17. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, «однородных», линейных и сводящихся к ним). 1. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида f2(y)dy = f1(x)dx (17.1) называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению , (17.2) где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f1(x) и f2(y), выраженные в элементарных функциях, то из (17.2) можно получить конечное уравнение вида Ф (х , у) = 0, (17.3) которое определяет решение у(х) уравнения (17.1) как неявную функцию х. Определение 17.1. Уравнение вида (17.3) называется интегралом уравнения (17.1), а если оно определяет все решения (17.1) – общим интегралом этого уравнения. Пример. . Приведем уравнение к виду (17.1): , откуда . Проинтегрируем обе части равенства: . Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения. Если требуется найти частное решение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию у(х0)=у0 , достаточно подставить значения х0 и у0 в уравнение (17.3) и найти значение с, соответствующее начальному условию. Пример. Найти решение уравнения y′ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у(0) = -1. Разделим переменные: , -ln | 2 – y | = -ln | cos x | - ln | c |, 2 – y = c• cos x. Подставив в это равенство х = 0 и у = -1, получим, что с = 3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y = 2 – 3cos x. 2. Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными. Если требуется решить уравнение вида , (17.4) где а и b – постоянные числа, то с помощью замены переменной z = ax+by оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными: Пример. . Замена: z = 4x + 2y – 1, тогда + с. Вычислим интеграл в левой части равенства: замена приводит к Проинтегрировав теперь правую часть равенства, получим общий интеграл: 3.Однородные уравнения. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид: . (17.5) Действительно, замена или y = xt приводит к Еще одной формой однородного уравнения является уравнение M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, (17.6) если М(х,у) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности. При этом . Пример. y² + x²y′ = xyy′. Преобразуем уравнение к виду (17.5): y′(xy – x²) = y², , . После замены y = xt получим: , t – ln | t | = ln | x | + ln |C| , , . В однородные можно преобразовать и уравнения вида (17.7) с помощью замены Х = х – х1 , Y = y – y1 , где х1 , у1 – решение системы уравнений a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0. (C геометрической точки зрения производится перенос начала координат в точку пересечения прямых a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0). Тогда, поскольку , в новых переменных уравнение примет вид: или - однородное уравнение. Пример. (у + 2) dx = (2x + y – 4)dy. Запишем уравнение в виде . Решением системы у + 2 = 0, 2х + у ­– 4 = 0 будут х1 = 3, у1 = -2. В новых переменных Х = х – 3, Y = y + 2 получим однородное уравнение , которое можно решить с помощью обычной замены Y = Xt. Тогда , , , и после обратной замены общий интеграл выглядит так: . Заметим, в это общее решение входит при С=0 и частное решение у = 1 – х, которое могло быть потеряно при делении на у + х –1. 4. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , (17.8) линейное относительно неизвестной функции у(х) и ее производной. При этом будем предполагать, что р(х) и f(x) непрерывны. В случае, когда f(x) ≡ 0, уравнение (17.8) называется однородным. Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: , откуда .(17.9) При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно входит в общее решение при С = 0. Для решения неоднородного уравнения (17.8) применим метод вариации постоянной. Предположим, что общее решение уравнения (17.8) имеет форму (17.9), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция аргумента х: . Тогда . Подставив эти выражения в уравнение (17.8), получим: + р(х) = f(x), откуда (17.10) Замечание. При решении конкретных задач удобнее не использовать в готовом виде формулу (17.10), а проводить все указанные преобразования последовательно. Пример. Найдем общее решение уравнения у′ = 2 х (х² + y). Представим уравнение в виде: y′ - 2xy = 2x³ и решим соответствующее однородное уравнение: y′ - 2xy = 0. . Применим метод вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид: , тогда . Подставим полученные выражения в уравнение: . Следовательно, , При этом общее решение исходного уравнения . К линейным уравнениям можно свести с помощью замены некоторые другие дифференциальные уравнения, например, уравнение Бернулли: (17.11) Разделив на уп, получим: , а замена z = y1-n , приводит к линейному уравнению относительно z: . Пример. . Сделаем замену: . Относительно z уравнение стало линейным: . Решим однородное уравнение: . Применим метод вариации постоянных: . Подставим эти результаты в неоднородное уравнение: Окончательно получаем: Дополним это общее решение частным решением у = 0, потерянным при делении на у4. Лекция 18. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение п-го порядка: F (x, y, y′,…, y(n)) = 0, (18.1) где F предполагается непрерывной функцией всех своих аргументов. Тогда по теореме о существовании неявной функции (см. лекцию ) можно разрешить это уравнение относительно старшей производной: у(п) = f (x, y, y′,…, y(n-1)) (18.2) и сформулируем для него (без доказательства) теорему существования и единственности решения: Теорема 18.1. Существует единственное решение уравнения (18.2), удовлетворяющее условиям , (18.3) если в окрестности начальных значений (х0 , у0 , у′0 ,…, у0(п-1)) функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго. Замечание 1. Так же, как и для дифференциального уравнения 1-го порядка, задача отыскания решения уравнения (18.2), удовлетворяющего условиям (18.3), называется задачей Коши. Замечание 2. Теорема 18.1 утверждает существование частного решения уравнения (18.2), удовлетворяющего данным начальным условиям. С геометрической точки зрения это соответствует существованию интегральной кривой, проходящей через точку . Но, используя эту теорему, можно доказать и существование общего решения уравнения (18.2), содержащего п произвольных постоянных и имеющего вид: (18.4) или, в неявной форме: . (18.5) Соотношение (18.5) будем называть общим интегралом уравнения (18.1) или (18.2). Уравнения, допускающие понижение порядка. В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько типов подобных уравнений. 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных по порядок (k – 1) включительно: . (18.6) В этом случае можно сделать замену р = у(k), которая позволяет понизить порядок уравнения до n – k, так как после замены уравнение примет вид . Из этого уравнения можно найти р = р (х, С1 , С2 ,…, Сn-k), а затем найти у с помощью интегрирования k раз функции р = р (х, С1 , С2 ,…, Сn-k). Пример. Уравнение при замене становится уравнением 1-го порядка относительно р: , откуда . Тогда . 2. Уравнение не содержит независимой переменной: F ( y, y′,…, y(n)) = 0. (18.7) Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой у′ = р(у). При этом производные функции f(x) по аргументу х нужно выразить через производные р по у: и т.д. Пример. Пусть тогда . Отметим частное решение р = 0, то есть Если после сокращения на р получим 3. Уравнение F (х, y, y′,…, y(n)) = 0 однородно относительно аргументов y, y′,…, y(n), то есть справедливо тождество В этом случае можно понизить порядок уравнения на единицу, вводя новую неизвестную функцию z, для которой . Тогда и т.д.