Законы распределения надежности

Лекция № 3 «Законы распределения надежности» Зачастую определить конкретный закон распределения времени до отказа элемента или системы очень сложно или невозможно. В этих случаях подразумевают, что случайная величина – время до отказа – распределена по известному закону, т.е. что закон распределения известен априорно. В качестве таких законов может быть использовано любое распределение, определенное на положительной полуоси времени (или комбинация распределений). Для исследования надежности устройств или при оценке вероятности появления различного числа неисправных изделий при выборочной проверке практическое значение имеют следующие законы распределения: 1. Экспоненциальный 2. Нормальный 3. Биномиальное распределение 4. Распределение Пуассона I. Экспоненциальный закон распределения Этот закон описывает надежность работы изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы вследствие износа и старения еще не проявляются и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным сочетанием различных факторов и имеют постоянную интенсивность . Экспоненциальное распределение часто называют основным законом надежности. Экспоненциальное распределение наиболее применимо для оценки безотказности объектов в период после приработки и до проявления постепенных отказов. Этот закон используется также при решении задач об обслуживании сложных систем. Экспоненциальный закон распределения надежности подразумевает, что интенсивность отказов объекта (системы) постоянна: (1) а время до отказа является непрерывной случайной величиной, распределенной экспоненциально, т.е. функция вероятности отказа принимает вид (2) Вероятность безотказной работы может быть определена как: (3) Экспоненциальное распределение иллюстрируется графиками функции распределения Q(t) и вероятности безотказной работы P(t), показанными на рисунке 1. Это распределение справедливо для положительных значений случайной величины. Рис. 1. Зависимость вероятности отказов Q(t) и вероятности безотказной работы P(t) от времени при экспоненциальном законе распределения Плотность вероятности и частота отказов экспоненциального распределения определяются следующим образом: (4) Среднюю наработку до отказа при экспоненциальном распределении можно найти по следующей формуле: (5) График зависимости для плотности и интенсивности отказов при экспоненциальном распределении представлен на рис. 2. Рис. 2. Зависимость интенсивности отказов λ(t) и плотности отказов f(t) от времени при экспоненциальном законе распределения. Несомненным достоинством экспоненциального распределения является простота зависимостей между показателями надежности, а также простота расчета надежности для сложных систем (в чем впоследствии студенты смогут убедиться). Однако экспоненциальный закон распределения не может похвастаться аккуратностью. Пр. 1. Произвести приближенную оценку вероятности безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа прибора для 2-х промежутков времени его работы 1000 и 3000 ч по следующей среднестатической величине интенсивности отказов 20*10-6 ед/ч. Отказы подчиняются экспоненциальному закону распределения случайной величины. Дано: λ=20*10-6 ед/ч; t1 = 1000 ч; t2 = 3000 ч. Решение: . Пр. 2. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ= 4*10-5 1/ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента P(t), Q(t), для t = 2000 ч. Дано: λ=4*10-5 ед/ч. Решение: Используем формулы (2), (3), (4), (5) для P(t), Q(t), . 1. Вычислим вероятность безотказной работы: 2. Вычислим вероятность отказа Q(2000): 3. Вычислим частоту отказов: 4. Вычислим среднее время безотказной работы: II. Нормальный закон распределения Является основным в математической статистике. Оно образуется, когда на случайную величину действует большое количество факторов. В теории надежности нормальным распределением описывают наработки на отказ объектов вследствие их износа и старения. Нормальный закон распределения характеризуется двумя статистическими параметрами: математическим ожиданием µ и стандартным отклонением σ. Для оценки математического ожидания можно использовать среднее арифметическое значение случайной величины. Значение математического ожидания µ определяется следующим образом: (6) где – среднее арифметическое значение параметра (временной параметр); ti – выборочные значения случайной величины. а стандартное отклонение случайной величины находят таким образом: (7) где σ – стандартное отклонение случайной величины; D(t) – дисперсия случайной величины. Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов f(t) описывается выражением: (8) При нормальном распределении время t может быть отрицательным, что противоречит физическому смыслу. Однако если среднее время значительно превышает (), отрицательная часть распределения не имеет практического значения. Функция распределения вероятности отказа Q(t) при нормальном законе распределения определяется следующим образом: (9) Вероятность безотказной работы в этом случае P(t) 1 F(t). Зависимость P(t) называют также кривой (функцией) убыли ресурсов. На рисунке 3 показаны графики функции нормального распределения и соответствующей ей кривой убыли ресурсов. Математическому ожиданию μ соответствует уровень вероятности 0,5. Рис. 3. Графики функции нормального распределения и соответствующей ей кривой убыли ресурсов. Общий вид графика плотности вероятности при нормальном распределении показан на рисунке 4. В границах ± 3 относительно среднего значения укладывается 99,73 % значений случайной величины. Эти границы часто используются для оценки пределов изменения значений случайной величины при нормальном ее распределении. Рис. 4. График плотности вероятности при нормальном распределении. Для выполнения расчетов с использованием нормального распределения применяют функцию Лапласа, определяемую следующим выражением: (10) где - квантиль нормированного нормального распределения. На рисунке 5 показан график нормированного нормального распределения. Рис. 5. График функции Лапласа Функция Лапласа обладает следующими свойствами: 1) 2) Ф(∞) = 1; 3) Ф (- x) = - Ф(x) С помощью функции Лапласа можно определить вероятность безотказной работы, вероятность, частоту и интенсивность отказов с помощью следующих выражений: (11) (12) ; (13) (14) где Ф(x) − функция Лапласа; x - квантиль нормированного нормального распределения. Нормированное нормальное распределение удобно использовать при расчетах как вероятности случайной величины, так и для расчета значения случайной величины по ее вероятности. Для вычисления вероятности попадания случайной величины t в интервал t1 - t2 c использованием функции Лапласа необходимо найти: (15) Если необходимо решить обратную задачу: определить наработку, соответствующую заданной вероятности безотказной работы, то используют квантили нормального распределения: (16) где x – квантиль нормированного нормального распределения, которая зависит от требуемой вероятности и приводится в таблицах. Нормальному распределению подчиняется наработка на отказ многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов. Пр. 3. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 2500 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы 𝑡 ̅ =3000 час. и среднее квадратическое отклонение σ = 500 ч. Дано: = 3000 ч; σ = 500 ч; t = 2500 ч. Решение: Вероятность безотказной работы может быть вычислена через функцию распределения вероятности отказа Q(t): Для расчета используем функцию Лапласа Ф(х). Определим квантиль распределения: Для отрицательного значения квантили Ф (- x) = - Ф(x), поэтому вероятность безотказной работы равна: P(t) 0,5 (1) 0,5+Ф(1)=0,5+0,3413=0,8413. Пр. 4. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами 𝑡 ̅ = 4500 ч, σ =2500 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности P(t), Q(t), 𝛼(𝑡),𝜆(𝑡) для t=5 700 ч. Дано: = 4500 ч; σ = 2500 ч; t = 5700 ч. Решение: P(t) 0,5 (x); Q(t) 1-P(t)=0,6844; =2,337* III. Биномиальный закон распределения надежности Это распределение по своей форме описывает появление событий, имеющих 2 исхода, взаимно исключающих друг друга. Если, например, в партии из 100 изделий – 90 годных и 10 бракованных, вероятность выражается в виде 0,9 годных и 0,1 бракованных. Если в генеральную совокупность одинаковых изделий входит доля q исправных и доля p неисправных, то q+p = 1. Если из большой партии изделий, содержащей p %-ое неисправных, берется выборка в количестве n изделий, то вероятность появления различного числа неисправных изделий в этих выборках определяется коэффициентами биномиального разложения . (17) В этом уравнении 1-й член показывает вероятность отсутствия неисправных изделий в выборке объемом n образцов. Второй член дает вероятность появления одного неисправного изделия, третий член – вероятность появления 2-х неисправностей, а последний – n неисправных. Таким образом, говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения – 0,1, …,m, …, n, а соответствующие вероятности равны: , где – это число способов, какими из n опытов можно выбрать m «успехов». Вероятность не менее m «успехов» в n опытах выражается в виде: Биномиальный закон распределения применяют обычно при статистическом контроле качества, когда имеется очень мало сведений о поведении изделий, а их необходимо расклассифицировать на годные и бракованные. Пр. 5. Из большой партии приборов, содержащей 5 % неисправных, берется для использования выборка из 4 единиц. Определить вероятность появления в выборках 0,1,2,3,4 неисправных приборов. Дано: p=0,05; n=4 Решение: IV. Распределение Пуассона Распределение Пуассона описывает появление внезапных отказов в сложных системах и распределение времени восстановления, число отказов однотипного оборудования за определенный интервал времени и т.п. В этом случае имеют дело с событиями, изолированными во времени или пространстве. Так, число отказов в работе устройства в течение некоторого промежутка времени характеризует собой появление изолированных во времени событий. Распределение Пуассона состоит из ряда членов, каждый из которых определяет вероятность появления 0,1,2,3… событий на единицу измерения. , (18) где a – среднее значение числа неисправностей на изделие или неисправных изделий, определяемое как произведение объема выборки на среднее значение доли неисправных изделий целой партии. В уравнении каждый элемент означает: Первый член означает вероятность появления 0 неисправностей на изделие; Второй член – вероятность появления 1 неисправности; Член – вероятность появлений b неисправностей. Таким образом, говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения – 0,1,…,m, a соответствующие вероятности равны: Это распределение широко применяют при контроле качества изделий. В частности, оно определяет основу для составления плана выборочной приемки в отделах технического контроля предприятий, выпускающих серийную или массовую продукцию. Таким образом, распределение Пуассона обычно применяют для определения вероятности появления заданного числа событий на заданном интервале времени при условии независимости и несовместности событий. Пуассоновское распределение является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается и одновременно неограниченно уменьшается в каждом случае вероятность «успеха» p, но так, что их произведение сохраняется в пределе постоянным и равным a: Отсюда следует, что пуассоновское распределение можно применять, когда число опытов очень велико, но в каждом отдельном случае событие происходит крайне редко. Поэтому такое распределение хорошо подходит для описания многократного применения технических устройств высокой надежности. Биномиальное распределение применяют в принципе для любого p, а распределение Пуассона — только для малого p. Поэтому в расчетном смысле закон Пуассона уже биномиального распределения, но в физическом смысле он шире, так как существует ряд процессов, в которых независимо от значения вероятности p распределение Пуассона применимо, а биномиальное нет.  Пр. 6. Из большой партии приборов, содержащей 2 % неисправных, берется для контроля выборка из 5 единиц. Оценить вероятность появления в выборках 0,1,2,3,4,5 неисправных. Дано: p=0,02; n=5 Решение: Задачи для самостоятельного решения: 1. Вероятность безотказной работы устройства в течение 360 ч равна 0,97. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов, частоту отказов и среднее время безотказной работы устройства для момента времени t =360 ч. 2. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами t ̅ = 9500 ч, σ = 1000 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности P(t),Q(t), α(t), λ(t), для t=7300 часам. 3. Подшипники коробки переключения передач автомобиля имеют нормальное распределение наработки до отказа с параметрами t ̅ = 2000 ч, σ = 450 ч . В течение какой наработки подшипник будет функционировать с надежностью P(t) = 0,85. 4. Из большой партии приборов, содержащей 3 % неисправных, берется для использования выборка из 7 единиц. Определить вероятность появления не более 4 неисправных приборов. Предполагается, что справедлив биномиальный закон распределения. 5. Для контроля качества берется 5 компонентов из общей партии, содержащей 7 % неисправных изделий. Определить вероятность появления более 3-х неисправных приборов. Предполагается, что справедливо распределение Пуассона.