Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения

Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Математическая модель объекта управления (MM OУ) t (1) x& = Ax + Bu + Qh , y = Dx , x(t ) = e At x(0) + ò e A(t -t ) ( Bu (t ) + Qh (t ))dt x = col( x1 , x2 , ..., xn ) Î R n – вектор состояния; u = col(u1 , u2 , ..., u p ) Î R p – вектор управлений; y Î R m – вектор выходных (измеряемых) переменных; h (t ) Î R q – вектор внешних возмущений (неизвестные детерминированные ограниченные в некоторой норме функции времени); lim xi (t ) = 0 A, B , Q, D – вещественные матрицы t ®¥ с постоянными известными элементами. Задача стабилизации: xi (t ) ® 0, i = 1, n Задача регулирования: yi (t ) ® ci = const , i = 1, m Задача слежения: yi (t ) ® g i (t ), i = 1, m xi (t ) = 0 "t > T > 0 xi (t ) £ d "t > T > 0 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения u h (t ) Основные типы обратной связи Q B A x ò D 1 x Обратная связь по состоянию z(t ) ® x(t ) Регулятор hˆ (t ) y = Dx - g (t ) 2 Динамическая обратная связь Наблюдатель состояний u 3 Управление по выходу u z, x или y Модель/наблюдатель возмущений Комбинированное управление = j (x) – весь вектор состояния измеряется (статическая обратная связь по состоянию); = j (z ) или u = j ( y, z ) – динамическая обратная связь по состоянию; 3) u = j ( y ) – статическая обратная связь по выходу; 4) u = j{ (.) + y{ (hˆ ) – комбинированное управление 1) u 2) u стабилизирующая составляющая компенсирующая составляющая 2 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения x& = Ax + Bu x Î R n – вектор состояний; u Î R p – вектор управлений; Ø весь вектор состояний измеряется; Ø внешние возмущения отсутствуют Q = O ; Ø элементы матриц A, B, D постоянны и известны. Задача 1. Синтез статической обратной связи по состоянию u = j (x ) , обеспечивающей асимптотическую устойчивость замкнутой системы x& = Ax + Bj (x ) : lim xi (t ) = 0, i = 1, n t ®¥ Этапы решения I этап. Анализ разрешимости задачи, т.е. исследование ММ ОУ на предмет управляемости (стабилизируемости). В случае отрицательного ответа требуется аппаратная доработка (ввод дополнительных управлений или перекрестных связей). II этап. Если система управляема (стабилизируема), то с учетом технологии процесса и цели управления вырабатываются требования к показателями качества переходных и установившихся процессов регулируемых переменных. III этап. Синтез обратной связи, т.е. выбор функциональной зависимости u = j (x) из допустимого множества и ее параметров. 3 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Управляемость. Критерий управляемости Определение управляемости (на физическом уровне). Система называется управляемой, если ее можно перевести из произвольного начального состояния x(t 0 ) = x0 Î R n в любое другое x(t1 ) = x1 Î R n за конечное время [t0 , t1 ] с по- мощью допустимого управления. x& = Ax + Bu имеет вид: r 2 n -1 Wn´n = ( B AB A B ... A B) , dim u = p = 1, Bn´1 ¹ 0 Wn´ p ( n - p +1) = ( B AB A2 B ... An- p B ) , 1 < p < n , rankBn´ p = p Матрица управляемости системы Ранговый критерий управляемости (Рудольф Калман). Система x& = Ax + Bu управляема тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет максимальный ранг n: rankW = n Û det Wn´n ¹ 0 . При этом пару ( A, B) называют управляемой, R n – область управляемости. Если rankW < n , то система частично управляема. 4 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Модальное управление Статическая линейная обратная связь: u = Fx , Fp´ n – матрица коэффициентов усиления Если система x& = Ax + Bu управляема, ее параметры известны, то в замкну~ той системе x& = ( A + BF ) x = A x можно обеспечить желаемое расположение корней характеристического уравнения ~ det(lI - A) = ln + a~1ln -1 + a~2 ln - 2 + ... + a~n = 0 , I – единичная матрица. Множество всех собственных чисел матрицы называется ее спектром: ~ ~ s ( A) = {li Î C : det (li I n - A) = 0, i = 1, n} Устойчивая (гурвицева) матрица: все собственные значения лежат в ле~ вой полуплоскости комплексной плоскости: Re li ( A) < 0, i = 1, n . Задача модального управления – выбор Fp´ n : ~ s ( A) = s d – заданный спектр 5 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения s d = {li Î C : Re li < 0, i = 1, n}, l = a + jb Î s d и l = a - jb Î s d . Заданный спектр s d обуславливает определенные корневые показатели качества переходных процессов, которым должна удовлетворять проектируемая система в процессе стабилизации. h = min{- Re li }i =1, n > 0 (минимальное из расстояний до мнимой оси) – запас устойчивости, m = max{- Re li }i =1,n > 0 (максимальное расстояние до мнимой оси) – быстрота протекания процесса; tgj (максимальное относительное значение b ) – колебательность. 6 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Прямой метод решения задачи модального управления – выбор Fp´ n : det(lI - ( A + BF )) = ln + a~1ln -1 + ... + a~n С ростом n возникают вычислительные трудности («проклятье размерности»). В управляемых системах со скалярным управлением u Î R существует единственная матрица F1´ n , обеспечивающая заданный спектр матрицы замкнутой системы. В системах с векторным управлением dim u = p > 1 матрица Fp´ n имеет бесконечное множество реализаций. Основная проблема при синтезе модального управления: p < n . Система называется элементарной, если p ³ n и rankBn´ p = n . В элементарной системе ( p = n , rankBn´ n = n ) задача имеет прямое ~ ~ A + BF = A Þ F = B -1 ( A - A) . решение: 7 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения x& = Ax + Bu вводится невырожденное линейное преобразование Tx = x , x Î R n , det Tn´n ¹ 0 , x = T -1 x , TT -1 = T -1T = I , Для системы A = TAT -1, B = TB , A и A – подобные матрицы -1 Преобразованная система: x& = A x + B u ( x& = Tx& = TAx + TBu = TAT x + TBu ) преобразования подобия 1. Инвариантность свойства управляемости к невырожденным линейным преобразованиям: ранги матриц управляемости исходной и преобразованной систем равны: W = ( B A B A 2 B ... A n-1B ) = (TB TAT -1TB TAT -1TAT -1TB ... ) = = T ( B AB A2 B ... An-1B) = TW , rankTn´ n = n Þ rankW = rankW . 2. Инвариантность корней характеристического уравнения к невырожденным линейным преобразованиям: характеристические полиномы (и, следовательно, спектры) матриц исходной и преобразованной системы равны: s ( A) = s ( A ) , т.е. det( Il - A) = det( Il - A ) = ln + a1ln -1 + a2 ln - 2 + ... + an . T ( Il - A)T -1 = Il - A , det T = 1 / det T -1 det(T ( Il - A)T -1 ) = det T det( Il - A) det T -1 = det( Il - A) . 8 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Каноническая форма управляемости. Критерий стабилизируемости Для частично управляемых систем rankW = l , 0 < l < n вводится x&1 = A11 x1 + A12 x2 + B1u , æ x1 ö каноническая форма управляемости Tx = x = ç ÷ x& 2 = A22 x2 , è x2 ø x1 Î R l – управляемое подпространство, пара ( A11 , B1 ) управляема, x2 Î R n - l Невырожденное линейное преобразование T = (T1 T2 ) , rankT1 = rankW = l < n, столбцы T1( n ´l ) – l линейно независимых столбцов матрицы управляемости W , столбцы T2 ( n´( n - l )) формируются из нулей и единиц так, чтобы Если система управляема, то она стабилизируема det T ¹ 0 . lim xi (t ) = 0 , обратное неверно. t ®¥ Критерий стабилизируемости. Для того чтобы линейная стационарная частично управляемая система была стабилизируема, необходимо и достаточно, чтобы матрица A22 в канонической форме управляемости была устойчива. 9 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Управляемая Форма Луенбергера (Devid Luenberger) 1 æ 0 ç x& = Ax + Bu , Tx = x ü ç 0 ï uÎ R ý x& = A x + B u = ç ... ç ï det W ¹ 0 ç 0 þ ç- a - a è n n -1 0 ö æ0 ö ÷ ç ÷ 0 ÷ ç0 ÷ ÷ x + ç ...÷u , ÷ ç ÷ ... 1 ÷ ç0 ÷ ç1 ÷ - an- 2 ... - a1 ÷ø è ø 1 ... ... æ hT ö T -1 = ( An-1B ... AB B) n´n ´ h(T1´n )W = (0 0 ... 0 1) ç ÷ T 0 ... 0 0 ö ç hT A ÷ h = (h1 h2 ... hn ) æ1 ç ÷ T =ç ÷, T T T n- 2 0 ... 0 0 ÷ ç ... ÷ h B = h AB = ... = h A B = 0 ç a1 1 ça ÷ ç hT An-1 ÷ hT An-1B = 1 a 1 ... 2 1 è ø ÷ ( n ´ n) ´ç ç ... ÷ det(lI - A) = det(lI - A ) = ça ÷ a a ... 1 ç n- 2 n-3 n- 4 ÷ n n -1 n- 2 ÷ = l + a1l + a2l + ... + an ç a a a ... a 1 è n-1 n- 2 n -3 ø 1 10 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Решение задачи модального на основе перехода к УФЛ s d = {li Î C : Re li < 0, i = 1, n}: n n n -1 n-2 ~ ~ ~ – эталонный полином ( l l ) = l + a l + a l + ... + a Õ i 1 2 n i =1 1 æ 0 ç ç 0 A = ç ... ç ç 0 ç- a - a è n n -1 0 ö 1 æ 0 ÷ ç 0 ÷ ç 0 ~ ÷ x& = A x = ç ... ÷ ç ... 1 ÷ ç 0 ç - a~ - a~ - an - 2 ... - a1 ÷ø è n n -1 1 ... ... 0 ö ÷ 0 ÷ ÷x ÷ ... 1 ÷ - a~n- 2 ... - a~1 ø÷ 1 ... ... k T = (k1 k 2 ... k n ) обратной связи u = k T x u = k1 x1 + k 2 x2 + ... + k n xn = (an - a~n ) x1 + (an -1 - a~n -1 ) x2 + ... + (a1 - a~1 ) xn . 1 424 3 1 424 3 142 4 43 4 Выбор коэффициентов k1 Закон управления в терминах исходной системы: u k2 kn = Fx = k T Tx , Tx = x 11 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Домашнее задание № 1 Синтез модального управления в линейной стационарной системе со скалярным управлением на основе перехода к управляемой форме Луенбергера Для системы æ1 0 1 ö æ - 1ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ x& = Ax + Bu , A = ç 0 2 - 1÷, B = ç 0 ÷ , x (0) = ç 1÷ , y = x ç0 1 0 ÷ ç 2÷ ç 1÷ è ø è ø è ø выполнить следующие расчеты: 1) проверить критерий управляемости; 2) составить характеристический полином матрицы A и получить представление исходной системы в управляемой форме Луенбергера; 3) для заданного спектра составить эталонный характеристический полином; сформировать обратную связь в терминах канонической системы; 4) найти матрицу перехода к управляемой форме Луенбергера; 5) формализовать закон управления в терминах исходной системы; сделать проверку. Провести моделирование в среде MATLAB–SIMULINK. Представить: 6) структурную схему замкнутой системы в терминах MATLAB–SIMULINK; 7) графики xi (t ) , i = 1,3 , u (t ) для расчетного случая. 12 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Численный пример æ1 1 0 ö æ 0ö ç ÷ ç ÷ A = ç 0 1 0 ÷, B = ç 1 ÷ , x Î R 3 , u Î R , W3´ 3 = ( B AB A2 B). ç 1 0 1÷ ç 0÷ è ø è ø 1. Проверяем выполнение критерия управляемости. 1.1. Вычислим компоненты матрицы управляемости и составим ее: æ1 1 0 ö æ 0 ö æ1 ö æ1 1 0 ö æ1 ö æ 2 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ AB = ç 0 1 0 ÷ × ç 1 ÷ = ç 1 ÷ , A B = A( AB) = ç 0 1 0 ÷ × ç 1 ÷ = ç 1 ÷ , ç 1 0 1÷ ç 0 ÷ ç 0 ÷ ç 1 0 1÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ è ø è ø è ø è ø è ø è ø æ 0 1 2ö ÷ ç W3´ 3 = ç 1 1 1 ÷ . ç0 0 1 ÷ è ø 1.2. rankW = 3 ( det W = -1 ¹ 0 ). Вывод: система управляема, может быть приведена к управляемой форме Луенбергера. 13 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 2. Составим характеристический полином матрицы А: 0 ö æ l -1 -1 ç ÷ det(lI - A) = detç 0 l - 1 0 ÷ = (l - 1) 3 = l3 - 3l2 + 3l - 1 = ç -1 0 l - 1ø÷ è (разложение по третьему столбцу) = det(lI - A ) = l3 + a1l2 + a2 l + a3 , a1 = -3, a2 = 3, a3 = -1. Представление исходной системы в форме Луенбергера: æ ç 0 ç x& = A x + B u = ç 0 ç 1 ç -{ è a3 ö 1 0 ÷ æ 0ö ç ÷ ÷ 1 ÷ x + ç 0 ÷u . ç1 ÷ ÷ 3 3 è ø { { ÷ - a2 - a1 ø 14 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 3. Заданный спектр: s d = {-1; - 2; - 3}, т.е. l1 = -1, l2 = -2 , l3 = -3. Эталонный полином (l + 1)(l + 2)(l + 3) = l3 + a~1l2 + a~2 l + a~3 = l3 + 6l2 + 11l + 6 ~ = - (l + l + l ) = 6 , По другому (расширенная теорема Виета): a 1 1 2 3 a~ = l l + l l + l l = 11 > 0 , a~ = - l l l = 6 > 0 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3 æ ö ç 0 1 0 ÷ ÷ ç ~ Желаемый вид замкнутой системы: x& = A x = ç 0 1 ÷ x. ç - 6 - 11 - 6 ÷ { {÷ ç{ ~ è - a3 - a~2 - a~1 ø Обратная связь в терминах канонической системы: a1 = -3, a2 = 3, a3 = -1. u = k T x = k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 = (a3 - a~3 ) x1 + (a2 - a~2 ) x2 + (a1 - a~1 ) x3 Þ k1 = a3 - a~3 = -1 - 6 = -7 , k 2 = a2 - a~2 = 3 - 11 = -8, k T = ( -7 - 8 - 9) . k = a - a~ = -3 - 6 = -9 , 3 1 1 15 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 4. Находим матрицу перехода Tx = x к УФЛ. Первый способ. Определим компоненты вектора hT = (h1 h2 h3 ) . hT B = 0 , hT AB = 0 , hT A2 B = 1: æ 0ö æ1 ö ç ÷ ç ÷ T T h B = (h1 h2 h3 )ç 1 ÷ = 0 Þ h2 = 0 , h AB = (h1 0 h3 )ç 1 ÷ = 0 Þ h1 = 0 , ç 0÷ ç 0÷ è ø è ø æ 2ö ç ÷ T 2 h A B = (0 0 h3 )ç 1 ÷ = 1 Þ h3 = 1 Þ hT = (0 0 1) . ç1 ÷ è ø æ hT ö æ 0 0 1 ö ç ÷ ç ÷ T T 2 T T h A = (1 0 1) , h A = (h A) A = (2 1 1) , T = ç h A ÷ = ç 1 0 1÷ . ç T 2÷ ç ç h A ÷ è 2 1 1÷ø è ø Решаем СЛАУ: 16 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения æ1 0 0 ö ÷ ç -1 2 Второй способ. Ищем обратную матрицу T = ( A B AB B ) ç a1 1 0 ÷, ç a a 1÷ è 2 1 ø det(lI - A) = l3 - 3l2 + 3l - 1 = 0 имеем a1 = -3, a2 = 3. æ 2 1 0 ö æ 1 0 0ö æ - 1 1 0ö æ 0 0 1ö ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ç -1 -1 -1 ç T = ç 1 1 1 ÷ ç - 3 1 0 ÷ = ç 1 - 2 1 ÷ , T = (T ) ç 1 0 1÷ . ç1 0 0 ÷ ç 3 - 3 1 ÷ ç 1 0 0 ÷ ç 2 1 1÷ è øè ø è ø è ø -1 Проверка: TT = I . где с учетом 5. Закон управления в терминах исходной системы: æ 0 0 1öæ x1 ö ç ÷ç ÷ T u = Fx = k Tx = (-7 - 8 - 9)ç 1 0 1÷ç x2 ÷ = -26 x1 - 9 x2 - 24 x3 , ç 2 1 1 ÷ç x ÷ è øè 3 ø т.е. F = ( -26 - 9 - 24) . 17 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Проверка. Составим характеристическое уравнение замкнутой исходной сис~ темы с синтезированным управлением: x& = Ax + Bu = Ax + BFx = A x , æ1 1 0 ö æ 0 ö æ 1 1 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ~ A = A + BF = ç 0 1 0 ÷ + ç 1 ÷(-26 - 9 - 24) = ç - 26 - 8 - 24 ÷ . ç 1 0 1÷ ç 0 ÷ ç 1 0 1 ÷ è ø è ø è ø 0 ö æl -1 -1 ÷ ~ ç Разложим определитель по первой строке: det(lI - A ) = ç 26 l + 8 24 ÷ = ç -1 ÷ l 1 è ø = (l - 1) 2 (l + 8) + 26(l - 1) + 24 = l3 - 2l2 + l + 8l2 - 16l + 8 + 26l - 26 + 24 = = l3 + 6l2 + 11l + 6 = 0 , что отвечает заданному спектру l1 = -1, l2 = -2 , l3 = -3. УРА! 18 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Структурная схема замкнутой системы 19 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИСТЕМЫ ММ ОУ x& = Ax + Bu, x Î R n , u Î R p , An´n , Bn´ p – известные матрицы. Система называется элементарной, если p ³ n и rankB = n , здесь в замкнутой системе можно обеспечить не только заданный ~ спектр, но и заданную матрицу собственных движений A Частный случай: p = n и rankB = n , det Bn´n ¹ 0 . ~ ~ ~ u = Fn´n x Þ x& = ( A + BF ) x = A x , A + BF = A Þ F = B -1 ( A - A) . Общий случай: p > n и rankBn´ p = n (избыток исполнительных устройств): ~ ~ u = Fp´ n x , A + BF = A Þ F = B + ( A - A) , B + – псевдообратная матрица матрицы B . 20 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения СПРАВКА Для Bn´ p , n ¹ p матрица B +p ´n служит псевдообратной, если BB + B = B . Псевдообратная матрица существует, если матрица B полного ранга. Если столбцы матрицы B линейно независимы, т.е. n > p и rankB = p , то B + = ( B T B ) -1 B T , где Bn´ p B p+´ n – симметрическая матрица неполного ранга, B p+´ n Bn´ p = I p ´ p . Наш случай: если строки матрицы линейно независимы, т.е. n < p и rankB = n , то B + = BT ( BBT ) -1 , где B p+´ n Bn´ p – симметрическая матрица, Bn´ p B p+´ n = I n´ n . ~ ~ + ~ F = B + ( A - A) x& = ( A + BF ) x = ( A + BB ( A A )) x = A x. { I 21 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой // Автоматика и телемеханика. 1978. №10. С. 72-77. ММ ОУ x& = Ax + Bu, x Î R n , u Î R p , An´n , Bn´ p – известные матрицы æ x1 ö Tx = x = çç ÷÷ , det Tn´n è x0 ø p < n , rankB = p0 £ p < n A11 A10 ö æ O ö æ ç ( n - p0 )´ p ÷ ç ( n - p0 )´( n - p0 ) ( n - p0 )´ p0 ÷ -1 , TB = ç ¹ 0 , TAT = ç ÷ ÷ A A B 01 00 ç ÷ ç ÷ p0 ´ p0 ø è p0 ´( n - p0 ) è p0 ´ p ø РФ – Регулярная Форма относительно управления x&1 = A11 x1 + A10 x0 , x&0 = A01 x1 + A00 x0 + B0u , x0 , x1 u Блок 0 B0 где rankB = rankB0 ( p 0 ´ p ) = dim x0 = p0 , x1 Î R x0 ò n - p0 Блок 1 A10 ò x1 . Если пара ( A, B ) управляема, то пара ( A11 , A10 ) тоже управляема, в верхней подсистеме x0 – фиктивное (виртуальное) управление, нижняя подсистема элементарная, пара ( A00 , B0 ) очевидно управляема 22 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Процедура декомпозиционного синтеза модального управления на основе РФ 1. Получение РФ с выделением элементарной подсистемы. Суть преобразования ММ ОУ к РФ: группировка базисных строк и обнуление линейно зависимых строк матрицы B . 1.1. Перестановка (при необходимости) и группировка базисных строк B ~ ~ x æ B æ 1ö ~ ~ ~ n - p0 1 ö T p x = çç ÷÷ = x , x1 Î R , T p B = çç ÷÷ = B , rankB = rankB0 = dim x0 = p0 è x0 ø è B0 ø ~ ~ ~ ~ ~ ~ & x A x A x B u , = + + B dim ~ 1 11 1 10 0 1 1 = ( n - p0 ) ´ p, -1 T p AT p = A : ~ ~ ~ dim B0 = p0 ´ p x&0 = A01 x1 + A00 x0 + B0u , Tp – матрица перестановок, в каждой строке нули и одна единица, единицы всех строк в разных столбцах. Местоположение единицы (ij): после перестановок на месте координаты будет находиться координата местами строки, а рическая, то T p xi x j . В преобразовании подобия T p AT p-1 матрица T p меняет T p-1 – соответствующие столбцы. Если матрица перестановок симмет- = T p-1.Если перестановки строк не требуется, то T p = I . ~ Если B1 = O , то РФ получена, переходим к пункту 2. ~ Если B1 ¹ O , то переходим к пункту 1.2. 23 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения ~ 1.2. Обнуление B1 ¹ O (линейно зависимые строки матрицы B0 ) с помо~ ~ ~ x1 - B0 x0 x1 = x1 + B0 x0 щью невырожденной замены переменных x1 = ~ ~ ~ ~ æ I n- p ö æ ö B I B x x æ 1ö 0 ( n - p0 )´ p0 ÷æ 1 ö n - p0 0 ( n - p 0 )´ p 0 ÷ -1 ç ~ ç çç ÷÷ = çç ÷÷ = x , Ta = Ta x = ÷ çO ÷ ç O ´( - ) x0 ø è x0 ø I I è p ´ ( n p ) p p n p p è 0 ø è 0 ø ~ æ B1 ö æ O ö æ A11 A10 ö ~ -1 ~ ÷÷ det Ta ( n ´n ) ¹ 0 , Ta B = Ta çç ÷÷ = ç ÷ , Ta A Ta = A = çç è A01 A00 ø è B0 ø è B0 ø ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x&1 = ~ x&1 - B0 x&0 = A11 ~ x1 + A10 x0 + B1u - B0 ( A01 ~ x1 + A00 x0 + B0u ) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ B 1 - B0 B0 = O = ( A11 - B0 A01 ) { x1 + ( A10 - B0 A00 ) x0 + ( B1 - B0 B0 )u , ~ ~ x1 = x1 + B0 x0 РФ x&1 = A11 x1 + A10 x0 , получена. Матрица перехода: T = TaTp , T -1 = T p-1Ta-1 x&0 = A01 x1 + A00 x0 + B0u ~ ~ ~ ~ ~ B B B = O Выбор аннулирующей матрицы B0 : 1 , B1 = B0 B0 0 0 ~ ~ Частный случай rankB0( p0 ´ p0 ) = p0 = p : $B0-1 : B0-1 B0 = I Þ B0 = B1 B0-1 ~ ~ Общий случай rankB0( p0 ´ p ) = p0 < p , B0 = B1B0+( p´ p0 ) `. 24 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 2. Проверка критерия управляемости на основе РФ x&1 = A11 x1 + A10 x0 , x&0 = A01 x1 + A00 x0 + B0u Нижняя система элементарная, пара ( A00 , B0 ) очевидно управляемая, в верхней подсистеме x0 Î R p0 n- p полагается фиктивным управлением для x1 Î R 0 . Если исходная система управляема (стабилизируема), то и верхняя подсистема РФ размерности n - p0 управляема (стабилизируема) относительно фиктивного управления x0 . Для пары ( A11 , A10 ) составляем матрицу управляемости W1( n - p0 )´ p 0 ( n - p 0 ) = ( A10 A11 A10 A112 A10 ... A11n - p0 -1 A10 ) , rW1 = l = 0 ¸ n - p0 : 1) если l = 0 Û A10 = O , то РФ совпадает с канонической формой управляемости, если Re l ( A11 ) < 0 , то система стабилизируема; 2) если 0 < l < n - p0 , то верхняя подсистема частично управляема, ее нужно привести к канонической форме управляемости относительно фиктивного управления x0 и проверить критерий стабилизируемости; 3) если l = n - p0 Û rankWn ´ pn = n , то верхняя подсистема управляема. Если верхняя подсистема стабилизируема, то управление формируется только для управляемой части. Если верхняя подсистема не стабилизируема, то процедура заканчивается, требуется аппаратная доработка системы. 25 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 3. Декомпозиционный синтез модального управления в терминах РФ. Если пара ( A11 , A10 ) управляема, то задача синтеза модального управления де- композируется на последовательно решаемые подзадачи меньшей размерности. 3.1. Синтез фиктивного управления. В верхней подсистеме размерности n - p0 с помощью x0 = F1( p0 ´ ( n - p0 )) x1 назначаются n - p0 собственных чисел. $F1( p0 ¸ ( n - p0 )) : x&1 = A11 x1 + A10 x0 = A11 x1 + A10 F1 x1 = A1 x1, A1 ( n - p0 )´( n - p0 ) = A11 + A10 F1 , s ( A1 ) = s d Если p0 ³ n - p0 , то верхняя подсистема элементарная. В общем случае p0 < n - p0 неэлементарная задача синтеза (в зависимости от размерности) решается либо путем приравнивания ХП замкнутой подсистемы x&1 = ( A11 + A10 F1 ) x1 и эталонного полинома, либо путем перехода к управляемой форме Лунбергера (при p0 = 1) или системе децентрализованного управления (при 1 < p0 < n - p0 ). В нижней элементарной подсистеме размерности p0 нужно обеспечить локальную связь x0 = F1 x1 с помощью истинного управления, т.е. решить задачу стабилизации невязки (отклонения между реальными и выбранными фиктивными управлениями) и назначить p0 собственных чисел. 26 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 3.2. Ввод невязок e1 = x1 Î R n - p 0 , e0 = x0 - F1 x1 Î R p 0 x0 = e0 + F1e1 O( n - p0 )´ p0 öæ x1 ö æ e1 ö æ I Oö æ x1 ö çæ I n - p0 -1 ÷ çç ÷÷ = çç ÷÷ = e , det Te ¹ 0 , Te = ç ÷ Te çç ÷÷ = ç ÷ è F1 I ø è x0 ø è - F1( p0 ´( n - p0 )) I p0 øè x0 ø è e0 ø æ A1 A10 ö æO ö æO ö -1 ÷÷ , A1 = A11 + A10 F1, s ( A1 ) = s d ,Te ç ÷ = ç ÷ Te A Te = çç è B0 ø è B0 ø è C01 C00 ø Система с замкнутыми локальными связями: e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = C01e1 + C00 e0 + B0u Нам нужны только матрицы нижней подсистемы, полное преобразование подобия можно не выполнять: e&1 = x&1 = A11e1 + A10 x0 = A11e1 + A10 (e0 + F1e1 ) = ( A11 + A10 F1 )e1 + A10e0 , 142 4 43 4 A1 e&0 = x&0 - F1e&1 = A01e1 + A00 (e0 + F1e1 ) + B0u - F1 ( A1e1 + A10e0 ) = = ( A01 + A00 F1 - F1 A1 )e1 + ( A00 - F1 A10 )e0 + B0u 14442444 3 142 4 43 4 C01 C00 27 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 3.3. Синтез истинного управления. В нижней элементарной подсистеме размерности p0 назначаются p0 заданных собственных чисел с помощью истинного управления u = Ke = B0* (-C01e1 - C00 e0 + A0 e0 ) , A0 ( p 0 ´ p0 ) – заданная матрица собственных движений, s ( A0 ) = s d B0* = B0+ , если p0 < p , B0 B0+ = I p0 , B0* = B0-1, если p0 = p Замкнутая система в невязках e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = A0 e0 . e0 ® 0 Þ e1 ® 0` A1 A10 ö æ ç ( n - p0 )´( n - p0 ) ÷ ç ÷, O A 0 ÷ ç p ´ è 0 p0 ø ХП det( lI - A1 ) det(lI - A0 ) = 0 . 4. Формализация закона управления в терминах исходной системы: F = KTeTaTp u = Ke = KTeT x = Fx , 123 F 28 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Домашнее задание № 2 Синтез модального управления на основе регулярной формы относительно управления Для системы (1) с полными измерениями выполнить следующие расчеты: 1) получить регулярную форму относительно управления; 2) на основе регулярной формы проверить критерий управляемости; 3) синтезировать закон модального управления в терминах регулярной формы, обеспечивающий заданный спектр замкнутой системы; 4) формализовать закон управления в терминах исходной системы; сделать проверку (сравнить с полученным в ДЗ1). 29 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения æ1 1 0 ö æ 0ö ç ÷ ç ÷ Численный пример: x& = Ax + Bu , A = ç 0 1 0 ÷, B = ç 1 ÷ . ç 1 0 1÷ ç 0÷ è ø è ø 1. Процедура приведения к РФ. 1.1. Перестановка и группировка базисных строк B. rankB = rankB0 = dim x0 = p0 = 1, dim x1 = n - p0 = 3 - 1 = 2 меняем местами вторую и третью строки: ~ 1 æ1 0 0 ö æ ö æ ö æ ö æ B ~ 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2´1 ÷ ~ æ x1 ö ~ -1 T p = ç 0 0 1 ÷ = T p , T p x = çç ÷÷ = x , T p B = ç 0 0 1÷ ç1 ÷ = ç 0 ÷ = ç ÷ = B è x0 ø ç 0 1 0÷ ç 0 1 0 ÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ ç B0 ÷ è ø è ø è ø è ø è 1´1 ø ~ B1 = O Þ Ta = I (аннулирующее преобразование выполнять не надо), T = T p Сразу получаем РФ: æ 1 0 1ö ç ÷ æ A11 A10 ö -1 ÷÷ TAT = ç 1 1 0 ÷ = çç ç 0 0 1÷ è A01 A00 ø è ø РФ æ1 0 ö æ1 ö x&1 = ç ÷ x1 + ç ÷ x0 , è 1 1ø è 0ø x&0 = (0 0) x1 + x0 + u 30 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения Акция благотворительности B = (-1 0 2)T æ - 1ö ~ ç ÷ æ B1 ö ~ Вариант 1 – без перестановок: T p = I , T p B = ç 0 ÷ = çç ÷÷ , B1 ¹ O ç 2 ÷ è B0 ø è ø 1 0 ö 12 ö ~ æ æ 1 æ I 2´2 - B0 ( 2´1) ö ç ç ~ ~ -1 æ - 1ö 1 æç - 2 ö÷ ÷ = ç 0 1 ÷ 0 ÷÷ , T = Ta . B0 = B1 B0 = ç ÷ = ç ÷ , Ta = çç ø ÷ çè O I è 0 ø 2 è0 ø è 1´2 ø è (0 0) 1 ÷ø 1´1 æ 0 0 1ö ÷ ç Вариант 2 – переставить местами строки 1 и 3: T p = ç 0 1 0 ÷ = T p-1 , ç1 0 0 ÷ è ø æ2 ö 1 0ö 2ö ~ ~ æ æ æ ö ç ÷ æ B1 ö ~ I 2´2 - B0 ( 2´1) çç ÷ ÷ ~ -1 æ - 2 ö ç ÷ ç ÷ T p B = ç 0 ÷ = ç ÷ , B0 = B1 B0 = ç ÷ , Ta = ç = ç è 0 1ø 0÷, ÷ è0 ø ç - 1÷ è B0 ø è O1´2 I1´1 ø çè (0 0 ) 1 ÷ø è ø T = TaTp 31 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения æ1 0 ö æ1 ö x&1 = ç ÷ x1 + ç ÷ x0 , è 1 1ø è 0ø x&0 = (0 0) x1 + x0 + u 2. Проверка критерия управляемости на основе РФ W1( 2´2 ) = ( A10 nтра æ 1 1ö A11 A10 ) = ç ÷ , rank W1 = 2 Û rankW3´3 = 3 . è 0 1ø 3. Синтез. 3.1. Синтез фиктивного управления. В верхней подсистеме размерности p0 = 2 с помощью x0 = F1(1´2 ) x1 = ( f1 f 2 ) x1 назначаются 2 числа из заданного спек- l1 = -1, l2 = -2 . Эта задача не элементарная, ее можно решить прямым методом: æ 1 + f1 f 2 ö æ1 0 ö æ1 ö x&1 = ç ÷ x1 + ç ÷( f1 f 2 ) x1 = ç ÷ x1 1 1 è 1 1ø è 0ø è14 243ø A1 det( A1 - Il ) = l2 + l ( -2 - f1 ) + ( f1 - f 2 + 1) = (l + 1)(l + 2) = l2 + 3l + 2 Þ 1 424 3 14243 - trA1 f1 = -5, f 2 = -6 , det A1 æ - 4 - 6ö F1 = (-5 - 6) , A1 = ç ÷. è 1 1 ø 32 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 3.2. Ввод невязок e1 = x1 Î R n - p 0 , e0 = x0 - F1 x1 Î R p 0 x0 = e0 + F1e1 x1 = e1 , e0 = x0 - F1 x1 = x0 - (-5 - 6) x1 , x0 = e0 + (-5 - 6) x1. æ 1 0 0ö æ 1 0 0ö ÷æ x1 ö æ e1 ö -1 ç ÷ æ x1 ö æ I 2´2 O2´1 öæ x1 ö ç ÷÷çç ÷÷ = ç 0 1 0 ÷çç ÷÷ = çç ÷÷ , Te = ç 0 1 0 ÷. Te çç ÷÷ = çç è x0 ø è e0 ø è x0 ø è - F1(1´ 2 ) I1 øè x0 ø ç ÷ ç - 5 - 6 1÷ 5 6 1 è ø è ø æ 0ö æ - 4 - 6 1ö ç ÷ æ A1 A10 ö æ O ö æ O ö ç ÷ -1 ÷÷ , Te ç ÷ = ç ÷ = ç 0 ÷ . Ae = Te A Te = ç 1 1 0 ÷ = çç ç - 19 - 30 6 ÷ è C01 C00 ø è B0 ø è B0 ø ç 1 ÷ è ø è ø 3.3. Синтез истинного управления u = Ke = B0* (-C01e1 - C00 e0 + A0 e0 ) p0 = p = 1 Þ B0* = B0-1 = 1, A0 = l3 = -3 u = (19 30)e1 - 9e0 = (19 30 - 9)e = Ke . Замкнутая система в невязках: æ- 4 - 6 1ö ç ÷ e& = Ae e = ç 1 1 0 ÷e ç 0 0 - 3 ÷ø è æ - 4 - 6ö æ1 ö e&1 = ç ÷e1 + ç ÷e0 , è 1 1 ø è 0ø e&0 = -3e0 33 Лекция 1. Задача стабилизации линейных стационарных систем. Основные положения 4. Закон управления u = Ke = (19 30 - 9)e в терминах исходной системы: F = KTeTaT p u = Ke = KTeT x = Fx , 123 F æ 1 0 0 öæ 1 0 0 ö ÷ ç ÷ç F = KTeTa = (19 30 - 9)ç 0 1 0 ÷ç 0 0 1÷ = (- 26 - 9 - 24) ç 5 6 1 ÷ç 0 1 0 ÷ è øè ø УРА!!! Результат должен совпасть с результатом, полученным в ДЗ1! 34