Взаимное позиционное расположение геометрических фигур.Параллельность плоскостей

Лекция №4 Взаимное позиционное расположение геометрических фигур. Параллельность плоскостей Теорема №1. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. a  Σ, b  Σ, a ∩ b , a /  Δ, b / Δ, a / ∩ b /, Δ  Σ a  a / , b  b / . Теорема №2. Плоскости в пространстве параллельны, если на комплексном чертеже их одноимённые следы параллельны между собой. Δ2, Σ2 – фронтальные следы плоскостей. Δ2 || Σ2 => Δ || Σ Задача №1. Задана плоскость общего положения Σ (a‌‌‌‍ || b) и точка D. Через точку D построить плоскость, параллельную заданной. План решения: 1. Строим произвольную прямую l, l  Σ; 2. Строим прямую m. m || a, D  m; 3. Строим прямую n, n || l, D  n; 4. Прямые m и n – определяют искомую плоскость. Параллельность прямой и плоскости Теорема №3. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости. m  Σ l || Σ l || m Теорема №4. Прямая параллельна плоскости в пространстве, если на комплексном чертеже одноименные проекции прямой и следа плоскости параллельны. Σ2 – фронтальный след плоскости l2 || Σ 2 => l || Σ Определение точки пересечения прямой с плоскостью (1-ая позиционная задача) 1. Плоскость является проецирующей. Точка К (К1,К2) определяется точкой пересечения прямой l2 ∩ Σ2 = K2 проекции l2 со следом плоскости Σ2. Видимость прямой MN определяется с помощью конкурирующих точек 1 и 2. 2.Плоскость является плоскостью общего положения. а) Решение с заменой плоскостей. План решения: 1. Используем дополнительную плоскость проекций П4  h, П4  П1. Плоскость, заданная трёугольником ABC, проецируется на плоскость проекций П4 в линию. 2. Находим на П4 точку K4 как точку пересечения проекции прямой N4 M4 со следом плоскости Δ4 . 3. По законам проекционной связи находим проекции точек К1 и К2. 4. Определяем видимость с помощью конкурирующих точек 3 и 2. б) Решение без замены плоскостей. Плоскость Σ задана с помощью двух параллельных прямых. Посредник  – это вспомогательная плоскость, необходимая для решения задач. План решения: 1. Через прямую l строим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Δ2. 2. Находим линию пересечения плоскостей Σ и Δ. Σ ∩ Δ = m (m1,m2) 3. Находим точку пересечения K1 = l1 ∩ m1. 4. По проекционной связи находим фронтальную проекцию К2. Определение линии пересечения двух плоскостей (2-ая позиционная задача) План решения: 1.Строим плоские посредники Θ /, Θ //  фронтально-проецирующие плоскости. 2.Определяем линии пересечения Σ ∩ Θ / =1222 , Δ ∩ Θ / =3242, Σ ∩ Θ // =5262, Δ ∩ Θ // =7282. 3.Находим на горизонтальной проекции точки М1, N1 как точки пересечения прямых 1121 ∩ 3141=М1 , 5161 ∩ 7181 =N1 . 4.Находим фронтальные проекции точек M2 и N2 используя их принадлежность плоскостям Θ / и Θ //. 5. Прямая MN – определяет линию пересечения.