Вынужденные колебания ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы ее движутся по заданному закону. Полностью неоднородная задача для уравнения малых колебаний. Метод разделения переменных

Материал к лекции 25 марта 2020 г. 5.3. Вынужденные колебания ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы ее движутся по заданному закону. Полностью неоднородная задача для уравнения малых колебаний. Метод разделения переменных Математическая постановка первой начально-краевой задачи для волнового уравнения в ограниченном стержне длиной имеет вид: (5.3.1) (5.3.2) (5.3.3) (5.3.4) (5.3.5) Для решения подобной задачи необходимо решить следующие частные задачи. 5.3.1. Задача о свободных колебаниях ограниченного стрежня с начальными отклонением и скоростью и зажатыми концами (5.3.6) (5.3.7) (5.3.8) (5.3.9) (5.3.10) Эта задача решается методом разделения переменных аналогично тому, как решалась соответствующая задача для уравнения параболического типа (4.3.5)–(4.3.8). Представим решение задачи (5.3.6)–(5.3.10) в виде произведения (5.3.11) и подставим (5.3.11) в уравнение (5.3.6), получим (5.3.12) В (5.3.12) равенство функций от переменных (слева) и (справа) может быть в случае, когда эти функции равны постоянной которая называется постоянной разделения. Знак постоянной разделения обосновывается так же, как и в разделе (4.3.1), то есть Из (5.3.12) сформируем два обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ) второго порядка (5.3.13) (5.3.14) Подставим (5.3.11) в граничные условия (5.3.9), (5.3.10), получим отсюда (5.3.15) (5.3.16) поскольку так как в противном случае в соответствии с (5.3.11) чего быть не может. Функция всегда является решением однородного ОДУ (5.3.14), однако существуют такие при которых Нахождение таких и соответствующих им из решения ОДУ (5.3.14) с однородными граничными условиями (5.3.15), (5.3.16) является задачей на собственные значения и соответствующие им ненулевые собственные функции (задачей Штурма-Лаувилля). Общим решением уравнения (5.3.14) является функция Подстановка этого решения в (5.3.15) определяет а подстановка в (5.3.16) приводит к равенству Постоянная (иначе тогда и в (5.3.11) что не приемлемо), следовательно (5.3.17) Тогда из общего решения получаем решение краевой задачи (5.3.14)–(5.3.16) для ОДУ (5.3.14) (5.3.18) Таким образом, (5.3.17), (5.3.18) – собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лаувилля (5.3.14)–(5.3.16). Основным свойством собственных функций (5.3.18) является их ортогональность на отрезке с положительной нормой: (5.3.19) Общим решением ОДУ второго порядка (5.3.13) относительно является функция, в которую вместо подставлены значения (5.3.17) (5.3.20) Подстановка (5.3.18) и (5.3.20) в разделение переменных (5.3.11) приводит к равенству (5.3.21) В силу линейности задачи (5.3.6)–(5.3.10) решением ее будет сумма решений (5.3.21) по количеству собственных функций (5.3.18), то есть бесконечная сумма. Можно показать, что эта сумма является общим решением задачи (5.3.6)–(5.3.10) (5.3.22) Для нахождения коэффициентов подставим общее решение (5.3.22) в начальные условия (5.3.7) и (5.3.8) (5.3.23) (5.3.24) Умножим левые и правые части равенств (5.3.23), (5.3.24) на собственные функции где – фиксировано, и проинтегрируем по переменной в пределах от до получим , В силу ортогональности собственных функций все слагаемые в левых частях последних равенств равны нулю при и равны при Отсюда находим (5.3.25) (5.3.26) Подставляя (5.3.25) и (5.3.26) в общее решение (5.3.22), получим (5.3.27) Выражение (5.3.27) – решение задачи (5.3.6)–(5.3.10). Равенства (5.3.23), (5.3.24) показывают, что коэффициенты и являются синус-коэффициентами Фурье функций и соответственно. Тогда решение (5.3.27) можно интерпретировать как ряд Фурье по собственным функциям 5.3.2. Задача о вынужденных колебаниях ограниченного стержня с нулевыми начальным отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты Математическая формулировка этой задачи имеет вид: (5.3.28) (5.3.29) (5.3.30) (5.3.31) (5.3.32) Для решения задачи (5.3.28)–(5.3.32) о вынужденных колебаниях конечного стержня длиной с вынуждающей силой при однородных начально-краевых условиях разложим искомую функцию и функцию в ряды по собственным функциям (5.3.33) (5.3.34) где в (5.3.33) подлежит определению, а функция в (5.3.34) определяются как синус-коэффициенты Фурье функции Для этого умножим обе части равенства (5.3.34) на ( – фиксировано) и проинтегрируем в пределах от до получим с использованием ортогональности собственных функций при и квадратом нормы (5.3.35) При этом предполагается, что при таком представлении решения в форме (5.3.33) однородные краевые условия (5.3.31), (5.3.32) уже использованы для нахождения собственных функций. Для нахождения подставим (5.3.33) и (5.3.34) в уравнение (5.3.28) и начальные условия (5.3.29), (5.3.30), получим следующую задачу Коши для неоднородного ОДУ второго порядка относительно с однородными начальными условиями: (5.3.36) отсюда (5.3.37) (5.3.38) (5.3.39) Уравнение (5.3.37) получено из (5.3.36) в силу ортогональности собственных функций при различных Задачу Коши (5.3.37)–(5.3.39) для неоднородного ОДУ с произвольной правой частью можно решать методом вариации произвольным постоянных. Общим решением однородного ОДУ, соответствующего ОДУ (5.3.37), является функция а общее решение неоднородного ОДУ представляется в виде, (5.3.40) где функции определяются из следующей системы: , Определитель Вронского для этой системы равен Дополнительные определители при и По правилу Крамера отсюда (5.3.41) Подставляя (5.3.41) в (5.3.40), получим Удовлетворяя это решение начальным условиям (5.3.38), (5.3.39), находим Окончательно решением задачи (5.3.37)–(5.3.39) будет функция (5.3.42) где использована формула синуса разности двух аргументов. Осталось подставить выражение (5.3.35) для в (5.3.42) а полученную функцию – в ряд (5.3.33), находим решение задачи (5.3.28)–(5.3.32) (5.3.43) 5.3.3. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы стержня зажаты Математическая формулировка этой задачи имеет вид: (5.3.44) (5.3.45) (5.3.46) (5.3.47) (5.3.48) Эта задача редукцией (5.3.49) разбивается на две задачи (в силу ее линейности), решения которых известны. Подставим (5.3.49) в (5.3.44)–(5.3.48), получим систему: из которой выделим задачу для функции (подчеркнута) (5.3.50) (5.3.51) (5.3.52) (5.3.53) (5.3.54) и задачу для функции (остальные члены) (5.3.55) (5.3.56) (5.3.57) (5.3.58) (5.3.59) Задача (5.3.50)–(5.3.54) совпадает с задачей (5.3.6)–(5.3.10), поэтому решением этой задачи будет функция (5.3.27), а задача (5.3.55)–(5.3.59) совпадает с задачей (5.3.28)–(5.3.32) и ее решением будет функция (5.3.43). Поэтому, в соответствии с редукцией (5.3.49) решениям задачи (5.3.44)–(5.3.48) будет сумма функций (5.3.27) и (5.3.43) (5.3.60) 5.3.4. Полностью неоднородная задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда концы движутся по заданным законам Формулировка задачи имеет вид (5.3.1)–(5.3.5). Для ее решения редуцируем задачу следующим образом: (5.3.61) Подстановка (5.3.61) в (5.3.1)–(5.3.5) приводит к системе из которой выделяется задача для функции (подчеркнута) (5.3.62) (5.3.63) (5.3.64) (5.3.65) (5.3.66) и задача для (остальные члены) (5.3.67) (5.3.68) (5.3.69) В задаче (5.3.62)–(5.3.66) введем обозначения (5.3.70) и поскольку в неоднородные слагаемые задачи (5.3.62)–(5.3.66) входит функция и ее производные, то необходимо вначале решить задачу (5.3.67)–(5.3.69), полученную функцию подставить в правые части задачи (5.3.62)–(5.3.66) и решить ее. Общим решением уравнения (5.3.67) является функция в которой и определяются из граничных условий (5.3.68), (5.3.69), получим решение задачи (5.3.67)–(5.3.69) (5.3.71) Подставляя функцию (5.3.71) в (5.3.62)–(5.3.66), получим задачу (5.3.72) (5.3.73) (5.3.74) (5.3.75) (5.3.76) которая полностью совпадает с задачей (5.3.44)–(5.3.48) и следовательно ее решением будет функция (5.3.60), в которую вместо функций подставлены функции (5.3.70) соответственною В результате, в соответствии с редукцией (5.3.61) решением задачи (5.3.1)–(5.3.5) будет сумма функций (5.3.71) и (5.3.60): (5.3.77) где, в соответствии с (5.3.70) и решением (5.3.71), используются функции: (5.3.78) Следует отметить, что решение (5.3.77) полностью неоднородной первой начально-краевой задачи для волнового уравнения (5.3.1)–(5.3.5) вбирает в себя все ранее рассмотренные решения частных задач. Более того, если в задаче (5.3.1)–(5.3.5) отсутствует какая-либо функция или все вместе, но хотя бы одна из функций или обе они не равны нулю, то в решении (5.3.77) присутствуют все слагаемые с функциями в соответствии с (5.3.78).