Вычисление ряда Тейлора

Вычисление ряда Тейлора. Рассмотрим для примера программу вычисления значения функции ch x (гиперболический косинус) с точностью e=10-6 с помощью бесконечного ряда Тейлора по формуле Y= 1+ + + …+ Этот ряд сходится при |x|<∞. Для достижения заданной точности требуется суммировать члены ряда, абсолютная величина которых больше е. Для сходящегося ряда модуль члена ряда Сn при увеличении n стремится к нулю. При некотором n неравенство |Cn|≥e перестает выполняться и вычисления прекращают. Алгоритм решения задачи выглядит след.образом: задать начальное значение суммы ряда, а затем многократно вычислять очередной член ряда и добавлять его к ранее найденной сумме. Вычисления заканчиваются тогда, когда абсолютная величина очередного члена ряда станет меньше заданной точности. Для вычисления очередного члена ряда можно использовать предыдущий. Т.е. x4=x2*x2 , х6=х4*х2и если обозначить t=x2, то в программе можно будет записать начальное z=x2; а в цикле z=z*t; Static void Main() {double e=1e-6; Console.WriteLine(“Введите значение х”); double x = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); bool done=true; double ch=1, y=ch, t=x*x; for(int n=1; Math.Abs(ch)>e;n++) {ch=t/2*n ; y+=ch; t=t*x*x; } Console.WriteLine(“значение ряда {0}”,y); } Требования к курсовому проекту 1 Тема курсового проекта выдается каждому студенту индивиду-ально. В коллективных работах, в которых принимают участие два и более студентов, четко определяется объем и характер работы каждого студента. В задании формулируется задача и метод ее решения. 2 Курсовой проект состоит из программы и пояснительной записки, к которой прилагается диск с отлаженными программами. 3 В пояснительную записку должны входить: титульный лист (приложение А); задание на курсовое проектирование (приложение В); реферат (приложение С), включающий количество страниц ПЗ, согласно ГОСТ 7.9 количество таблиц, рисунков, программ приложений, ключевые слова (прописными буквами), краткую характеристику и результаты работы; ФБГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет (КубГТУ) Кафедра Информационных систем и программирования Институт Компьютерных систем и программирования ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к курсовой работе по дисциплине (наименование дисциплины) на тему _______________________________________________________ (тема курсового проекта (работы)) Выполнил (а) студент (ка) группы ________________________________ _____________________________________________________________ (ф.и.о.) Допущен к защите______________________________________________ Руководитель проекта___________________________________________ Нормоконтролер _______________________________________________ Защищен _____________________ (дата) Оценка _______________________ Члены комиссии _______________________________________________ (подпись, дата, расшифровка подписи) Краснодар 2014 Приложение B ФБГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет (КубГТУ) Кафедра Информационных систем и программирования Институт Компьютерных систем и программирования УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой __________________ ЗАДАНИЕ на курсовое проектирование Студенту:_________________________ группы__________________ курса (Ф.И.О.) (№ группы и курса) факультета ______________________________________________________ специальности __________________________________________________ ________________________________________________________________ (шифр и наименование) Тема проекта:____________________________________________________ Содержание задания:______________________________________________ ________________________________________________________________ Объем работы: а) пояснительная записка к проекту _____________ с. б) программы. Рекомендуемая литература:_________________________________________ Срок выполнения проекта: с "___" ______по"___"____20__г. Срок защиты: "___"____20__г. Дата выдачи задания: "___"____20__г. Дата сдачи проекта на кафедру: "___"____20__г. Руководитель проекта _________________________________ (подпись, ф.и.о., звание, степень) Задание принял студент _______________________________ (подпись, дата) Приложение C ФБГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет (КубГТУ) Кафедра Информационных систем и программирования Институт Компьютерных систем и программирования Реферат Пояснительная записка курсового проекта (работы) 49 с., 17 рис., 6 табл., 4 источника, 3 прил. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, МЕТОД КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАПЕЦИЙ, МЕТОД СИМПСОНА (ПАРАБОЛ), ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ УРАВНЕНИЕ, МЕТОД ДИХОТОМИИ, МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ, МЕТОД ХОРД, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА, МАСШТАБИРОВАНИЕ Объектом исследования является… Цель работы состоит… К полученным результатам относятся… содержание; нормативные ссылки; введение; основную часть: а) спецификации задачи; б) формулировку задачи; в) описание методов вычислительной математики, используемых при решении; г) описание методов программирования, применённых в работе; д) тексты программ (листинги); е) описание программы; ж) результаты машинного тестирования программы; з) заключение (основные результаты работы, включая предложения по их реализации);  список использованных источников.     2.4 Пояснительная записка должна быть оформлена на листах формата A4 (210297 мм) по ГОСТ 2.301. Все листы следует сброшюровать и пронумеровать. Во введении обосновывается актуальность темы, формируются цели и задачи, определяются объект, предмет и методы исследования. Должен быть обзор существующих технических решений и разработок. Формируются теоретическое и практическое значение темы, обосновывается ее связь с состоянием науки и техники в конкретной области, новизна подходов к решению к решению поставленной цели. Слово «Введение» записывается по центру страницы строчными буквами, с первой прописной, выделяют полужирным шрифтом, увеличенным размером шрифта и не нумеруют. Текст введения не делят на пункты и подпукты. Основная часть, как правило, включает в себя след. разделы: теоретический, экспериментальный, расчетный, конструкторский и технологический. Теоретический раздел должен быть посвящен анализу поднимаемой проблемы, анализу литературных источников, анализ и обоснование выбора математического аппарата исследования объекта. Заключение должно содержать общие выводы, предложения по использованию результатов. Цвет шрифта должен быть черным, гарнитура шрифта Times New Roman, размер шрифта 14 пунктов, межстрочный интервал – от одинарного до полуторного, абзацный отступ – 1,5 см. Поля сл. размеров: правое – 15 мм, левое – 30 мм, верхнее – 15 мм, нижнее- 25 мм. Разделы и подразделы нумеруются арабскими цифрами. После номера раздела, подраздела точку не ставят, а отделяют от текста пробелом. Заголовки «Введение», «Заключение», «Список использованных источников» и «Приложение» располагаются по центру, не нумеруя. Заголовки печатают, отделяя от текста одной строкой, начиная с прописной, не приводя точку в конце и не подчеркивая. Номер раздела печатают после абзацного отступа. В заголовках не допускается перенос по слогам. Между заголовком раздела и текстом основной части необходимо оставлять двойной интервал. Таблицы. Слева над таблицей размещают слово «Таблица», выделенное разрядкой, после него приводят номер таблицы, при необходимости ее наименование, точку не ставят. Размер шрифта в таблице допускается не мене 10 пунктов. В тексте ПЗ должны быть ссылки на все таблицы. Нумерация допускается сквозная, либо внутри раздела. Например, «Таблица 1» или «Таблица 1.1». При оформление иллюстраций в ПЗ используют арабские цифры. Внизу по центру иллюстрации пишется слово «Рисунок» и номер сквозной или в данном разделе, далее наименование изображения, точка не ставится. Например: Рисунок 1 - Наименование Математическое обоснование формулы метода прямоугольников. Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Рисунок 1 – Ступенчатая фигура, состоящая из элементарных прямоугольников Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок (отрезков) длины помощью точек где . В середине , на n равных частей (что равняется шагу разбиения) с . Можно записать, что , каждого такого отрезка поставим ординату графика функции . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью . Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла . (1) Математическое обоснование формулы метода криволинейных трапеций Формула трапеций выводится аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной. Криволинейная фигура, полученная по методу криволинейных трапеций Разобьем промежуток Абсциссы точек деления Пусть на n равных частей длины . . соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид: , , где . Заменим кривую концы ординат и ломаной линией, звенья которой соединяют , где . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями , и высотой (1) или – формула трапеций. (2) : Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций (2), оценивается с помощью формулы , где – наибольшее значение в промежутке . Так же, как и формула средних прямоугольников, формула трапеций (2) дает точный результат для линейной функции , поскольку . Пример вычисления определенного интеграла по методу парабол (Симпсона) Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла . Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы прямыми , и снизу – отрезком , сбоку – (см. рисунок 3). Рисунок 3 - Криволинейная фигура, ограниченная по сторонам прямыми и , а сверху графиком параболы Пусть парабола проходит через три точки , где – ордината параболы в точке – ордината параболы в точке ; – ордината параболы в точке , ; . Площадь криволинейной фигуры, показанной на Рисунке 3 равна Выразим эту площадь через ординат находим, что . Из равенств для , . , Подставляя эти значения a и b в равенство , получаем Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла Для этого отрезок [a;b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной c точками В точках деления подынтегральной функции , где . . вычисляем значения , где . Рисунок 4 - Криволинейная фигура, полученная по методу Симпсона (парабол) Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равным h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке парабола проходит через три точки , . Используя формулу находим . Аналогично находим , . , Сложив полученные равенства, имеем или . Формула называется формулой Симпсона (парабол). Абсолютная погрешность вычисления по формуле оценивается соотношением где . ,