Вычисление конечных сумм и произведений
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате docx
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Теоретический материал
Вычисление конечных сумм и произведений
Решение многих задач связано с нахождением суммы или произведения элементов заданной последовательности. В данном разделе мы рассмотрим основные приемы вычисления конечных сумм и произведений.
Пусть - произвольная последовательность n функций. Будем рассматривать конечную сумму вида . Такую сумму можно записать более компактно, используя следующее обозначение: . При значение суммы равно 0.
В дальнейшем будем также использовать сокращенную запись для конечного произведения данной последовательности, которая выглядит следующим образом: .
1. Написать программу, которая подсчитывает сумму натуральных чисел от 1 до n (n1).
Указания по решению задачи. Пусть sn - сумма натуральных чисел от 1 до n. Тогда sn=1+2+…+(n-1)+n=(1+2+…+(n-1))+n=sn-1+n, s0=0. Мы пришли к рекуррентному соотношению s0=0, sn=sn-1+n, которым мы можем воспользоваться для подсчета суммы. Соотношение sn=sn-1+n говорит о том, что сумма на n-ном шаге равна сумме, полученной на предыдущем шаге, плюс очередное слагаемое.
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
int s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
s+=i;
Console.WriteLine("s="+s);
}
2. Написать программу, которая подсчитывает n! для вещественного x и натурального n.
Указание по решению задачи. Из свойства факториала 0!=1!=1, n!=1*2*3*…*n, n!=(n-1)!n. Следовательно, факториал можно вычислять, используя рекуррентное соотношение b0=1, bn=bn-1*n.
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
int f=1;
for (int i=1; i<=n; ++i)
f*=i;
Console.WriteLine("{0}!={1}", n, f);
}
3. Написать программу для подсчета суммы , где х – вещественное число, n – натуральное число.
Указания по решению задачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с 1, то мы увидим, что номер слагаемого совпадает со значением знаменателя. Рассмотрим каждый числитель отдельно: , , … Эту последовательность можно представить рекуррентным соотношением b0=0, bn=bn-1+cosnx (1). Теперь сумму можно представить следующим образом , а для нее справедливо рекуррентное соотношение S0=0, (2). При составлении программы будем использовать формулы (1-2).
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("Ввведите значение x: ");
double x=double.Parse(Console.ReadLine());
double b=0, s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
b+=Math.Cos(i*x);
s+=b/i;
}
Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
}
4. Написать программу для подсчета суммы , где х – вещественное число, n – натуральное число.
Указания по решению задачи. Перейдем от сокращенной формы записи к развернутой, получим . Каждое слагаемое формируется по формуле . Если в эту формулу подставить n=0, то получим .
Чтобы не вводить несколько рекуррентных соотношений (отдельно для числителя, отдельно для знаменателя), представим общий член последовательности слагаемых с помощью рекуррентного соотношением вида , где q для нас пока не известно. Найти его можно из выражения . Произведя необходимые расчеты, получим, что . Следовательно, для последовательности слагаемых мы получили рекуррентное соотношение , (3). А всю сумму, по аналогии с предыдущими примерами, можно представить рекуррентным соотношением: S0=0, (4). Таким образом, при составлении программы будем пользоваться формулами (3-4).
using System;
namespace Hello
{
class Program
{
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("Ввведите значение x: ");
double x=double.Parse(Console.ReadLine());
double a=-1, s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
a*=-x/i; s+=a;
}
Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
}
}
}
Вычисление бесконечных сумм
Будем теперь рассматривать бесконечную сумму вида . Это выражение называется функциональным рядом. При различных значениях x из функционального ряда получаются различные числовые ряды . Числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Совокупность значений x, при которой функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Числовой ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов при имеет предел, в противном случае, ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член ряда при неограниченном увеличении его номера стремится к нулю: . Это необходимый признак сходимости для всякого ряда.
В случае бесконечной суммы будем вычислять ее с заданной точностью e. Cчитается, что требуемая точность достигается, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чем е, то есть это слагаемое на результат практически не влияет. Тогда его и все последующие слагаемые можно не учитывать.
Пример. Написать программу для подсчета суммы с заданной точностью е (е>0).
Указание по решению задачи. Рассмотрим, что представляет из себя заданный ряд: . Как видим, общий член ряда с увеличением значения i стремится к нулю. Поэтому данную сумму можно вычислить, но только с определенной точностью e. Заметим также, что последовательность слагаемых можно выразить с помощью рекуррентного соотношения a1=-1, , а всю сумму - с помощью рекуррентного соотношения S0=0, Sn=Sn-1+an. (Данные рекуррентные соотношения выведите самостоятельно.)
using System;
namespace Hello
{
class Program
{
static void Main()
{
Console.Write("Задайте точность вычислений е: ");
double e=double.Parse(Console.ReadLine());
double a=-1, s=0;
for (int i=2; Math.Abs(a)>=e; ++i)
{
s+=a; a/=-i;
}
Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
}
}
}
Практическое задание
Замечание. При решении задач производить обработку следующих исключительных ситуаций: ввода пользователем недопустимых значений и переполнения при вычислении математических выражений.
I. Для заданного натурального n и действительного х подсчитать следующие суммы:
1) ;
2)
3) S = 1!+2!+3!+…+n!; 4).
II. Для заданного натурального k и действительного x подсчитать следующие выражения:
1) 2)
3) 4)
III. Вычислить бесконечную сумму ряда с заданной точностью е (e>0).
1) 2) 3) 4)
IV. Вычислить и вывести на экран значение функции F(x) на отрезке [a,b] c шагом h=0.1 с точностью e. Результат работы программы представить в виде следующей таблицы:
№
Значение x
Значение функции F(x)
Количество просуммированных слагаемых n
1
2
…
Замечание. При решении задачи использовать вспомогательную функцию.
1. F(x) = , x [0.1; 0.9].
2. F(x) = , x [0; 0.99].
3. F(x)=, x [0, 1].
4. F(x) =, x [1; 2].
