Введение в математический анализ

Лекция №3 Введение в математический анализ (1 час) Понятие функции. Графики элементарных функций Построение графиков элементарных функций без использования производной. Функцией называется закон f, по которому каждому элементу xX ставится в соответствие единственный элемент y. Множество X всех допустимых значений аргумента x называется областью определения функции f и обозначается D(f). Область определения функции – важнейшая характеристика функции. Если при задании функции множество X не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения f(x). Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная y, называют областью значений функции обозначается E(f). Смысл выражения «область значений функции y = f(x), с областью определения X, есть множество E(f)» состоит в следующем: 1. Любому элементу x Xсоответствует единственный элемент yE(f); 2. Любое значение yE(f) достигается хотя бы при одном значении xD(f). Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Отрезок [ a, b] – проекция графика функции y = f(x) на ось ОХ является областью определения функции. D(f) = [ a, b], (x[ a, b] ). Отрезок [ c, d] – проекция графика функции y = f(x)на ось ОYявляется областью значений функции. D(f) = [ a, b], (x[ a, b] ). Нули функции - это значения независимой переменнойx, при которых функция f(x) принимает значение нуль f(x) = 0. Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки из области определения функции, на каждом из которых функция принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения. Функция f(x) называется четной если 1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого x, принадлежащего области определения, значение –x также принадлежит области определения; 2) для любого x из области определения выполняется условие: f(-x) = f(x) График такой функции симметричен относительно оси ординат. Примеры четных функций y = x2, y = cos(x). Функция f(x) называется нечетной если 1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого x, принадлежащего области определения, значение –x также принадлежит области определения; 2) для любого x из области определения выполняется условие: f(-x) = - f(x) График такой функции симметричен относительно началакоординат. Примеры нечетных функций y = x3, y = 1/x. Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида. Функция y=f(x) называется периодической, если существует число t 0,такое что для любого xD(f) выполняется два условия: 1) значения x – tD(f)и x + tD(f); 2) f(x - t) = f(x) = f(x + t). Функция называется возрастающей на некотором промежутке из области определения, если для любых чисел x1,x2 из этого промежутка из того, что x1 меньше x2,следует,что f(x1) меньше f(x2) и наоборот. Стационарными точками функции называются внутренние точки ее области определения, касательная к графику в которых параллельна оси Оx или совпадает с ней Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, касательная к графику функции в которых либо параллельна оси Оx, либо совпадает с ней, либо не существует. Промежуток области определения функции называется промежутками её выпуклости вверх, если касательная, проведённая к графику функции в любой точке этого промежутка, располагается над графиком функции. Промежуток области определения функции называется промежутком её выпуклости вниз, если касательная, проведённая к графику функции в любой точке этого промежутка, расположена под графиком функции. Внутренняя точка области определения функции является её точкой перегиба,если «при переходе» через эту точку меняется характер выпуклости функции Асимптотой называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но которой он не достигает. Функция может быть задана в виде таблицы или графика, либо формулой (аналитическое задание). Аналитически функцию можно задать в явном виде y = f(x) (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная y зависит от x , то есть является функцией аргумента x . Можно задать ее неявно F(x,y)= 0. В этом случае любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции x2 +y29 . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции y(9 – x2) и y- ( 9 – x2), x[ 3,3]. Возможно параметрическое задание функции, когда вводится дополнительный параметр t. Например параметрическое задание окружности: , t[ 0, 2]. Убедимся, что в самом деле это уравнение окружности. Для этого подставим в общее уравнение окружности x2 +y29 выражения xиyиз параметрического задания окружности. Мы получим тождество. Смысл параметра t в рассмотренном примере – это угол наклона прямой, проходящей через начало координат и пересекающей окружность в точке, координаты которой можно подсчитать, подставив этот угол в параметрическое задание окружности. Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных величин с помощью конечного числа арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций являются: у = ax + b–линейная функция a,b∈ R; у = ax + bx + c– квадратичная функция a, b, с ∈ R; у= – целая рациональная функция или многочлен степени n, где где , R –дробно‒рациональная функция; частным случаем дробно‒рациональной функции является дробно‒линейная функция Примерами неэлементарных функций могут служить у = signx = ,у= R; , . Графики основных элементарных функций: 1) Показательная функция y = αx 2) Степенная функция y = x α 3) Логарифмическая функция y = logax, 4) Тригонометрические функцииy = sinx, y = cosx 5) y = tgx, y = ctgx 6) y = arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) = ; y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) = y = arctg x, D (f) = R, E (f) = y = arcctg x, D (f) = R, E (f) = ; ; Дополнительно с темой лекции можно познакомиться в методическом указании 1-2 Введение в математический анализ. Более подробно с темой лекции можно познакомиться по ссылке: https://studfile.net/preview/6055016/page:3/ Методы построения графиков функций без использования производной К основным методам построения графиков относятся следующие: Параллельный перенос (сдвиг по осям); Деформация (растяжение или сжатие); Отображение (относительно осей); Обратная функция; Графическое сложение двух функций; Подробные рекомендации по использованию этих методов представлены в методическом указании 1-25 Построение графиков функций без использования производной.