Справочник от Автор24
Теория вероятностей

Конспект лекции
«Виды распределений»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по теории вероятности / Виды распределений

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Виды распределений», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Виды распределений». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Виды распределений», текстовый формат

Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 83 Ëåêöèÿ 4. Âèäû ðàñïðåäåëåíèé Áèíîìèàëüíîå, ïóàññîíîâñêîå, ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ, èõ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà ïëîòíîñòè. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îñíîâíûå íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ (ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå). 4.1. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóñòü ïðîâåäåíî n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñ âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èñïûòàíèè (èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè). Îáîçíà÷èì ξ  ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ ÷èñëó ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè P {ξ = m} = P (m) = Cnm pm q n−m , ãäå q = 1 − p, m = 0,1, . . . , n. (4.1) 4.1. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîå íèæåïðèâåäåííîé òàáëèöåé, íàçûâàåòñÿ áèíîìèàëüíûì. Îïðåäåëåíèå ξ 0 1 2 ... k ... n p q n npq n−1 Cn2 p2 q n−2 . . . Cnk pk q n−k . . . pk Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè n è p. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ áèíîìîì Íüþòîíà: n X n (p + q) = Cnm pm q n−m . m=0 Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû: (p + q)n = p + (1 − p) n X m=0 m pm = n X n = 1. Ñëåäîâàòåëüíî Cnm pm q n−m = 1. m=0 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ðàñïðåäåë¼ííîé ïî áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ 84 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ(z) = n X k=0 k pk z = n X Cnk pk q n−k z k k=0 = n X Cnk kq n−k (pz)k = (q + pz)n . k=0 Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ φ′ (z) = np(q + p)n−1 p = np1n−1 = np, φ′′ (z) = n(n − 1)(1)n−2 p2 = n2 p2 − np2 . Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 φ′ (1) = n(q+p)n−1 p = np, φ′′ (1) = n(n−1)(q+p)n−2 p2 = n2 p2 −np2 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ïðèìåíÿåì ðàíåå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû M (ξ) = φ′ (1) = M (ξ) = np. D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1))2 = n2 p2 − np2 + np − n2 p2 = = np − np2 = np(1 − p) = npq. Èòàê, äëÿ áèíîìèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïîëó÷èëè: M (ξ) = np; D(ξ) = npq. (4.2) 4.1. Ìîíåòà áðîøåíà 4 ðàçà. Íàïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà âûïàäåíèé îðëà. Ïðèìåð IÍàéä¼ì âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ îðëà ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè ïðè n = 4, p = 0,5: P4 (0) = 0,54 ≈ 0,0625; P4 (1) = 4 · 0,5 · 0,53 = 0,25; P4 (2) = C42 · 0,52 · 0,52 ≈ 0,375; P4 (3) = p4 (1) = 0,25; P4 (4) = p4 (0) ≈ 0,0625. Èñêîìûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäà¼òñÿ òàáëèöåé: ξ 1 2 3 4 p 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 85 Ïî ôîðìóëàì (4.2) íàõîäèì: M (ξ) = n · p = 4 · 0,5 = 2; D(ξ) = nqp = 4 · 0,5 · 0,5 = 1. I Îòâåò: M (ξ) = 2, D(ξ) = 1. Ïðèìåð 4.2. Ïðîèçâîäèòñÿ äâàäöàòü âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè ïåðâîì âûñòðåëå ðàâíî 0,1, à ïðè êàæäîì ïîñëåäóþùåì âûñòðåëå ïðîèçâîäèòñÿ êîððåêòèðîâêà ïðèöåëà, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ íà 10%. Íàïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé â ìèøåíü. IÏîäñ÷èòûâàåì âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèé ïðè êàæäîì âûñòðåëå. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ôîðìóëó ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ: pk = 0,1(1 + 0,1)k , k = 0, 20. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ìàññèâîâ ïîïàäàíèé â öåëü p è ïðîìàõîâ q = 1 − p: (p)[0.1, 0.11, 0.121, 0.1331, · · · ] Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2.14) äëÿ n = 20 è ïîëó÷åííûõ ìàññèâîâ p è q. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóåì Maxima-ïðîãðàììó. Íà ðèñ. 18 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äàííîé çàäà÷è. kill(all)$ fpprintprec:4$N:20$ p:makelist(0.1*(1+0.1)^k,k,0,N-1);q:1-p; P:product((q[k]+p[k]*z),k,1,N); Fi:expand(P); K:makelist(coeff(Fi,z^n),n,0,N)$ K[1]:coeff(Fi,z,0)$K; s:sum(K[i],i,1,N+1); plot2d([discrete, K], [x,1,14],[style,points])$ (p) [0.1,0.11,0.121,0.1331,0.1464,0.1611,0.1772,0.1949, 0.2144,0.2358,0.2594,0.2853,0.3138,0.3452,0.3797, 0.4177,0.4595,0.5054,0.556,0.6116] (q) [0.9,0.89,0.879,0.8669,0.8536,0.8389,0.8228,0.8051, 0.7856,0.7642,0.7406,0.7147,0.6862,0.6548,0.6203, 0.5823,0.5405,0.4946,0.444,0.3884] (P) (0.1*z+0.9)*(0.11*z+0.89)*(0.121*z+0.879)*(0.1331*z+0.8669)* (0.1464*z+0.8536)*(0.1611*z+0.8389)*(0.1772*z+0.8228)* *(0.1949*z+0.8051)*(0.2144*z+0.7856)*(0.2358*z+0.7642)* *(0.2594*z+0.7406)*(0.2853*z+0.7147)*(0.3138*z+0.6862)* *(0.3452*z+0.6548)*(0.3797*z+0.6203)*(0.4177*z+0.5823)* (0.4595*z+0.5405)*(0.5054*z+0.4946)*(0.556*z+0.444)* 86 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. *(0.6116*z+0.3884) (Fi) 7.322*10^-13*z^20+5.392*10^-11*z^19+1.841*10^-9* *z^18+3.87*10^-8*z^17+5.616*10^-7*z^16+5.976*10^-6*z^15+ *4.835*10^-5*z^14+3.044*10^-4*z^13+0.001514*z^12+0.005997* *z^11+0.01903*z^10+0.04841*z^9+0.09848*z^8+0.1592* z^7+0.2025*z^6+0.1993*z^5+0.1481*z^4+0.08008*z^3+ +0.02961*z^2+0.006671*z+6.883*10^-4 (%o9) [6.883*10^-4,0.006671,0.02961,0.08008,0.1481,0.1993, 0.2025,0.1592,0.09848,0.04841,0.01903,0.005997,0.001514, 3.044*10^-4,4.835*10^-5,5.976*10^-6,5.616*10^-7,3.87*10^-8, 1.841*10^-9,5.392*10^-11,7.322*10^-13] (%o11) 1.0 P 0,2 0,1 2 Ðèñ. 4.2 4 18. 6 8 k 10 12 Ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïðèìåðà 14 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 87 4.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Ïóñòü â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè n → ∞, p → 0, òàê, ÷òî np → λ. Òîãäà, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, âåðîÿòíîñòü Pn (m) ïðèáëèæ¼ííî îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ïóàññîíà: λm −λ P {ξ = m} = e , λ > 0. (4.3) m! Îïðåäåëåíèå 4.2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîå ôîðìóëîé (4.3), íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà èëè ïóàññîíîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàïèøåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà â âèäå òàáëèöû: ξ 1 p e−λ λe−λ 2 ... λ2 −λ e ... 2! m ... λm −λ e ... m! Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì λ. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà äëÿ eλ , ïîëó÷èì: ∞ ∞ X X λm −λ λm e = e−λ = e−λ · eλ = 1. m! m! m=0 m=0 Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ òàêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ φ(z) = n X m=0 pm z m = ∞ ∞ X X λm −λ m λm m e z = e−λ z = e−λ eλz = eλ(z−1)z . m! m! m=0 m=0 Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ φ′ (z) = λeλ(z−1)z , φ′′ (z) = λ2 eλ(z−1)z . Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 88 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ′ (1) = λ, φ′′ (1) = λ2 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ïðèìåíÿåì ðàíåå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû M (ξ) = φ′ (1) = λ. D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1))2 = λ2 + λ − λ2 = λ. Èòàê, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà M (ξ) = D(ξ) = λ. (4.4) Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 89 4.3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ ðÿä íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé (¾ïîïûòîê¿) äëÿ äîñòèæåíèÿ íåêîòîðîãî ðåçóëüòàòà (ñîáûòèÿ A), è ïðè êàæäîé ïîïûòêå ñîáûòèå A ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Òîãäà ÷èñëî ïîïûòîê ξ äî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A, âêëþ÷àÿ óäàâøóþñÿ, ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ: m = 1, 2, . . . , m, . . . Âåðîÿòíîñòè èõ ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ðàâíû P (ξ = m) = pq m−1 , ãäå 0 < p < 1, q = 1 − p. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèä ξ 1 2 3 m = 1, 2, . . . . ... m (4.5) ... P p pq pq 2 . . . pq m−1 . . . Êàê âèäíî, âåðîÿòíîñòè Pm = P (ξ = m) = pq m−1 , m = 1, 2, . . . , îáðàçóþò äëÿ ðÿäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì p è çíàìåíàòåëåì q (ïîòîìó ðàñïðåäåëåíèå è íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì). Ñóììà âåðîÿòíîñòåé âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò ðàâíà p S = p + pq + pq 2 + . . . + p + pq m−1 + . . . = = 1. 1−q Ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî ãåîìåòðè÷åñêîìó çàêîíó: ÷èñëî âûñòðåëîâ äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, ÷èñëî èñïûòàíèé óñòðîéñòâà äî ïåðâîãî îòêàçà, ÷èñëî áðîñàíèé ìîíåòû äî ïåðâîãî âûïàäåíèÿ ãåðáà (èëè ðåøêè) è ò.ï. Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âêëè÷èíû ξ äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùóþ ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ φ(z) = ∞ X m=1 pq m−1 m z = pz ∞ X m=1 (qz)m−1 = pz . 1 − zq Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ 90 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ′ (z) = p 2pq , φ′′ (z) = . 2 (1 − zq) (1 − zq)3 Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 1 2pq 2q φ′ (1) = , φ′′ (1) = 3 = 2 . p p p 1 M (ξ) = . p  2 1 2q 1 q 2 D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1)) = 2 + − = 2. p p p p Èòàê, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìåþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîëó÷èëè (4.6) M (ξ) = D(ξ) = λ. 4.4. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ìû âñòðå÷àëèñü êîãäà ðåøàëè çàäà÷ó î âûáîðêå. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ïðàêòèêå ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðèåìî÷íîãî êîíòðîëÿ êà÷åñòâà ïðîäóêöèè, â çàäà÷àõ îðãàíèçàöèè âûáîðî÷íûõ îáñëåäîâàíèé è äð. Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä: ξ 1 2 p 0 Ck CL K−L k CK 1 C k−1 CL K−L k CK 2 C k−2 CL K−L k CK ... l ... l C0 CL K−L k CK Çäåñü k 6 K, l = min(k; L), L 6 K è ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà åäèíèöå. Òèïè÷íîå òîëêîâàíèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíà ÷èñëó áåëûõ øàðîâ, ïîïàâøèõ â âûáîðêó áåç âîçâðàùåíèÿ k øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé K øàðîâ, èç êîòîðûõ L áåëûõ. k CLm · CK−L P (ξ = m) = , k CK M (ξ) = k · k = 0, 1, 2, . . . , l. L . K Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 91 Ðàññìîòðåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàëåå ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 4.5. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå 4.3. Ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà [a; b], åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò 0 íà ýòîì îòðåçêå è ðàâíà íóëþ âíå åãî: Îïðåäåëåíèå  f (x) = C ïðè x ∈ [a; b], 0 ïðè x ∈ / [a; b]. Èñïîëüçóÿ 6 ñâîéñòâî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (ï. 3.18), íàéä¼ì êîíñòàíòó C . Zb Z+∞ Cdx = 1 =⇒ f (x)dx = 1 =⇒ −∞ b =⇒ Cx a a = 1 =⇒ C(b − a) = 1 =⇒ C = 1 . b−a Èòàê, ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: ( f (x) = 1 ïðè x ∈ [a; b], b−a / [a; b]. ïðè x ∈ (4.7) Ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà 4 ïëîòíîñòè (ï. 3.18) íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: Zx F (x) = f (t)dt. −∞ 92 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Zx Ïðè x<a F (x) = 0dt = 0; −∞ Za ïðè a 6 x 6 b F (x) = Zx 0dt + −∞ Za ïðè x>b F (x) = a Zb 0dt + −∞ a x−a 1 dt = ; b−a b−a 1 dt + b−a Zx 0dt = b b−a = 1. b−a Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:    0x − a ïðè x < a, ïðè a 6 x 6 b, F (x) =   b−a 1 ïðè b < x. (4.8) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè a è b. Ãðàôèêè ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîé íà [a;b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 19. f (x) F(x) 1 a b x a b x Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ðèñ. 19. Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 93 Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ: Z+∞ Zb M (ξ) = xf (x)dx = −∞ x 1 x2 dx = · b−a b−a 2 a b = a b 2 − a2 a+b = 2 · (b − a) 2 Z+∞ Zb (a + b)2 x2 (a + b)2 2 D(ξ) = = dx − = x f (x)dx − 4 b−a 4 −∞ a 3 b = 1 x (a + b) (b − a)3 (a + b)2 · − = − = b−a 3 a 4 3 · (b − a) 4 4 · (a2 + ab + b2 ) − 3 · (a + b)2 (b − a)2 = = . 12 12 2 Èòàê, äëÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷èì: M (ξ) = a+b ; 2 D(ξ) = (b − a)2 . 12 (4.9) 4.1. Íàéä¼ì P {x 6 ξ < x + ∆x} ïðè óñëîâèè, ÷òî a 6 x < x + ∆x 6 b. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 5 ïëîòíîñòè (ï. 3.18), ïîëó÷àåì: Çàìå÷àíèå x+∆x Z P {x 6 ξ < x+∆x} = x+∆x Z f (x)dt = x x x + ∆x − x ∆x 1 dt = = . b−a b−a b−a Êàê âèäèì, ýòà âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò x, ò.å. îò ïîëîæåíèÿ ïðîìåæóòêà âíóòðè [a; b], à òîëüêî îò äëèíû ïðîìåæóòêà ∆x. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ  ðàâíîìåðíîå. Âåðîÿòíîñòü ðàñïðåäåëåíà ¾ðàâíîìåðíî¿ ïî îòðåçêó [a; b] (ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà). Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé a+b âåëè÷èíû ðàâíî ñåðåäèíå îòðåçêà: M (ξ) = . 2 4.3. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [0; 4] è ðàâíà íóëþ âíå åãî. Íàéòè ïëîòíîñòü è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Ïðèìåð 94 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. I ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 4.3 ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 4]. Ñëåäîâàòåëüíî:  (  1  0x ïðè x < 0, ïðè x ∈ [0; 4], ïðè 0 6 x 6 4, f (x) = F (x) = 4   4 0 ïðè x ∈ / [0; 4], 1 ïðè x > 4, M (ξ) = 2; D(ξ) = Îòâåò M (ξ) = 2; D(ξ) = (4 − 0)2 4 = ≈ 1,333. 12 3 4 ≈ 1,333. 3 4.6. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 4.4. Ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì (ïîêàçàòåëüíûì), åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  −λx λe ïðè x > 0, f (x) = (4.10) ïðè x < 0, ãäå λ > 0. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì λ > 0. Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: Zx ïðè x > 0 F (x) = Zx f (t)dt = −∞ λe−λt dt = −e−λt x Z ïðè x < 0 F (x) = = 1 − e−λx ; Zx f (t)dt = −∞ x 0dt = 0. −∞ Èòàê, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  F (x) = 1 − e−λx ïðè x > 0, ïðè x < 0. (4.11) Ãðàôèêè ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 20. Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. f (x) 95 F(x) λ 1 x x Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ðèñ. 20. Z+∞ Z+∞ Z+∞ M (ξ) = xf (x)dx = xλe−λx dt = λ xe−λx dx = " −∞ # Z+∞ ∞ du = dx 1 = −xe−λx + e−λx dx = = dv = e−λx v = − e−λx λ ∞ 1 1 = − e−λx = . λ λ Ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåäèòå âûêëàäêè è äîêàæèòå, ÷òî: Z+∞ Z+∞ 1 1 1 D(ξ) = x2 f (x)dx − 2 = x2 λe−λx dx − 2 = 2 . λ λ λ u=x −∞ Èòàê, äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷èì: 1 1 (4.12) M (ξ) = ; D(ξ) = 2 . λ λ Çàìå÷àíèå 4.2. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷åðåç íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . ., èìåþùèå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, ïðîèñõîäèò êàêîå-ëèáî ñîáûòèå (íàïðèìåð, ïîñòóïàåò âûçîâ íà òåëåôîííóþ ñòàíöèþ èëè ïðèõîäèò ïîêóïàòåëü â ìàãàçèí), òî êîëè÷åñòâî ýòèõ ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ çà ëþáîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì a = λt.

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Теория вероятностей

Важнейшие виды распределений случайных величин

ТЕМА 4: ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины 𝑋 – числа появлений с...

Теория вероятностей

Статистическая проверка гипотез о виде закона распределения

Лиховодова Т.Б. Лекция. Статистическая проверка гипотез о виде закона распределения 1.1. Задача выравнивания статистического распределения. Задача опр...

Автор лекции

Лиховодова Т.Б.

Авторы

Высшая математика

Равномерное, показательное и нормальное распределения непрерывной случайной величины

7.12. Равномерное, показательное и нормальное распределения непрерывной случайной величины. 1. Равномерное распределение.q Определение. Непрерывная сл...

Теория вероятностей

Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Довольно часто каждому эле...

Нефтегазовое дело

Случайные величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины и закона ее распределения. Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной вел...

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Гурьянова И.Э. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КУРС ЛЕКЦИЙ Москва, 2014 УДК 519.2(075.8) ББК 22.17г95 Рецензент: С.А.Зададаев, кандидат физико-математических нау...

Автор лекции

Гурьянова И.Э.

Авторы

Теория вероятностей

Теории вероятностей; случайные события; алгебра событий

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событ...

Технологические машины и оборудование

Основные понятия надежности. Классификация отказов. Составляющие надежности.

                                                                                           Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАДЕЖНОСТИ. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТКАЗОВ...

Теория вероятностей

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон частот)

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон частот) Математическая статистика – это раздел математик...

Транспортные средства

Надежность технических систем

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Представленный курс лекций составлен с учетом основных квалификационных требований, обязательных знаний и навыков, необх...

Смотреть все