Виды распределений

Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 83 Ëåêöèÿ 4. Âèäû ðàñïðåäåëåíèé Áèíîìèàëüíîå, ïóàññîíîâñêîå, ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ, èõ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà ïëîòíîñòè. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îñíîâíûå íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ (ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå). 4.1. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóñòü ïðîâåäåíî n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñ âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì èñïûòàíèè (èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè). Îáîçíà÷èì ξ  ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ ÷èñëó ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè P {ξ = m} = P (m) = Cnm pm q n−m , ãäå q = 1 − p, m = 0,1, . . . , n. (4.1) 4.1. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîå íèæåïðèâåäåííîé òàáëèöåé, íàçûâàåòñÿ áèíîìèàëüíûì. Îïðåäåëåíèå ξ 0 1 2 ... k ... n p q n npq n−1 Cn2 p2 q n−2 . . . Cnk pk q n−k . . . pk Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè n è p. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ áèíîìîì Íüþòîíà: n X n (p + q) = Cnm pm q n−m . m=0 Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû: (p + q)n = p + (1 − p) n X m=0 m pm = n X
n = 1. Ñëåäîâàòåëüíî Cnm pm q n−m = 1. m=0 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ðàñïðåäåë¼ííîé ïî áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ 84 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ(z) = n X k=0 k pk z = n X Cnk pk q n−k z k k=0 = n X Cnk kq n−k (pz)k = (q + pz)n . k=0 Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ φ′ (z) = np(q + p)n−1 p = np1n−1 = np, φ′′ (z) = n(n − 1)(1)n−2 p2 = n2 p2 − np2 . Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 φ′ (1) = n(q+p)n−1 p = np, φ′′ (1) = n(n−1)(q+p)n−2 p2 = n2 p2 −np2 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ïðèìåíÿåì ðàíåå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû M (ξ) = φ′ (1) = M (ξ) = np. D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1))2 = n2 p2 − np2 + np − n2 p2 = = np − np2 = np(1 − p) = npq. Èòàê, äëÿ áèíîìèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïîëó÷èëè: M (ξ) = np; D(ξ) = npq. (4.2) 4.1. Ìîíåòà áðîøåíà 4 ðàçà. Íàïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà âûïàäåíèé îðëà. Ïðèìåð IÍàéä¼ì âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ îðëà ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè ïðè n = 4, p = 0,5: P4 (0) = 0,54 ≈ 0,0625; P4 (1) = 4 · 0,5 · 0,53 = 0,25; P4 (2) = C42 · 0,52 · 0,52 ≈ 0,375; P4 (3) = p4 (1) = 0,25; P4 (4) = p4 (0) ≈ 0,0625. Èñêîìûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäà¼òñÿ òàáëèöåé: ξ 1 2 3 4 p 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 85 Ïî ôîðìóëàì (4.2) íàõîäèì: M (ξ) = n · p = 4 · 0,5 = 2; D(ξ) = nqp = 4 · 0,5 · 0,5 = 1. I Îòâåò: M (ξ) = 2, D(ξ) = 1. Ïðèìåð 4.2. Ïðîèçâîäèòñÿ äâàäöàòü âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè ïåðâîì âûñòðåëå ðàâíî 0,1, à ïðè êàæäîì ïîñëåäóþùåì âûñòðåëå ïðîèçâîäèòñÿ êîððåêòèðîâêà ïðèöåëà, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ íà 10%. Íàïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé â ìèøåíü. IÏîäñ÷èòûâàåì âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèé ïðè êàæäîì âûñòðåëå. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ôîðìóëó ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ: pk = 0,1(1 + 0,1)k , k = 0, 20. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ìàññèâîâ ïîïàäàíèé â öåëü p è ïðîìàõîâ q = 1 − p: (p)[0.1, 0.11, 0.121, 0.1331, · · · ] Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2.14) äëÿ n = 20 è ïîëó÷åííûõ ìàññèâîâ p è q. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóåì Maxima-ïðîãðàììó. Íà ðèñ. 18 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äàííîé çàäà÷è. kill(all)$ fpprintprec:4$N:20$ p:makelist(0.1*(1+0.1)^k,k,0,N-1);q:1-p; P:product((q[k]+p[k]*z),k,1,N); Fi:expand(P); K:makelist(coeff(Fi,z^n),n,0,N)$ K[1]:coeff(Fi,z,0)$K; s:sum(K[i],i,1,N+1); plot2d([discrete, K], [x,1,14],[style,points])$ (p) [0.1,0.11,0.121,0.1331,0.1464,0.1611,0.1772,0.1949, 0.2144,0.2358,0.2594,0.2853,0.3138,0.3452,0.3797, 0.4177,0.4595,0.5054,0.556,0.6116] (q) [0.9,0.89,0.879,0.8669,0.8536,0.8389,0.8228,0.8051, 0.7856,0.7642,0.7406,0.7147,0.6862,0.6548,0.6203, 0.5823,0.5405,0.4946,0.444,0.3884] (P) (0.1*z+0.9)*(0.11*z+0.89)*(0.121*z+0.879)*(0.1331*z+0.8669)* (0.1464*z+0.8536)*(0.1611*z+0.8389)*(0.1772*z+0.8228)* *(0.1949*z+0.8051)*(0.2144*z+0.7856)*(0.2358*z+0.7642)* *(0.2594*z+0.7406)*(0.2853*z+0.7147)*(0.3138*z+0.6862)* *(0.3452*z+0.6548)*(0.3797*z+0.6203)*(0.4177*z+0.5823)* (0.4595*z+0.5405)*(0.5054*z+0.4946)*(0.556*z+0.444)* 86 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. *(0.6116*z+0.3884) (Fi) 7.322*10^-13*z^20+5.392*10^-11*z^19+1.841*10^-9* *z^18+3.87*10^-8*z^17+5.616*10^-7*z^16+5.976*10^-6*z^15+ *4.835*10^-5*z^14+3.044*10^-4*z^13+0.001514*z^12+0.005997* *z^11+0.01903*z^10+0.04841*z^9+0.09848*z^8+0.1592* z^7+0.2025*z^6+0.1993*z^5+0.1481*z^4+0.08008*z^3+ +0.02961*z^2+0.006671*z+6.883*10^-4 (%o9) [6.883*10^-4,0.006671,0.02961,0.08008,0.1481,0.1993, 0.2025,0.1592,0.09848,0.04841,0.01903,0.005997,0.001514, 3.044*10^-4,4.835*10^-5,5.976*10^-6,5.616*10^-7,3.87*10^-8, 1.841*10^-9,5.392*10^-11,7.322*10^-13] (%o11) 1.0 P 0,2 0,1 2 Ðèñ. 4.2 4 18. 6 8 k 10 12 Ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïðèìåðà 14 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 87 4.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Ïóñòü â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè n → ∞, p → 0, òàê, ÷òî np → λ. Òîãäà, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, âåðîÿòíîñòü Pn (m) ïðèáëèæ¼ííî îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ïóàññîíà: λm −λ P {ξ = m} = e , λ > 0. (4.3) m! Îïðåäåëåíèå 4.2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîå ôîðìóëîé (4.3), íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà èëè ïóàññîíîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàïèøåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà â âèäå òàáëèöû: ξ 1 p e−λ λe−λ 2 ... λ2 −λ e ... 2! m ... λm −λ e ... m! Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì λ. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà äëÿ eλ , ïîëó÷èì: ∞ ∞ X X λm −λ λm e = e−λ = e−λ · eλ = 1. m! m! m=0 m=0 Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ òàêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ φ(z) = n X m=0 pm z m = ∞ ∞ X X λm −λ m λm m e z = e−λ z = e−λ eλz = eλ(z−1)z . m! m! m=0 m=0 Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ φ′ (z) = λeλ(z−1)z , φ′′ (z) = λ2 eλ(z−1)z . Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 88 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ′ (1) = λ, φ′′ (1) = λ2 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ïðèìåíÿåì ðàíåå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû M (ξ) = φ′ (1) = λ. D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1))2 = λ2 + λ − λ2 = λ. Èòàê, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà M (ξ) = D(ξ) = λ. (4.4) Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 89 4.3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ ðÿä íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé (¾ïîïûòîê¿) äëÿ äîñòèæåíèÿ íåêîòîðîãî ðåçóëüòàòà (ñîáûòèÿ A), è ïðè êàæäîé ïîïûòêå ñîáûòèå A ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Òîãäà ÷èñëî ïîïûòîê ξ äî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A, âêëþ÷àÿ óäàâøóþñÿ, ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ: m = 1, 2, . . . , m, . . . Âåðîÿòíîñòè èõ ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ðàâíû P (ξ = m) = pq m−1 , ãäå 0 < p < 1, q = 1 − p. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ξ èìååò âèä ξ 1 2 3 m = 1, 2, . . . . ... m (4.5) ... P p pq pq 2 . . . pq m−1 . . . Êàê âèäíî, âåðîÿòíîñòè Pm = P (ξ = m) = pq m−1 , m = 1, 2, . . . , îáðàçóþò äëÿ ðÿäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì p è çíàìåíàòåëåì q (ïîòîìó ðàñïðåäåëåíèå è íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì). Ñóììà âåðîÿòíîñòåé âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò ðàâíà p S = p + pq + pq 2 + . . . + p + pq m−1 + . . . = = 1. 1−q Ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî ãåîìåòðè÷åñêîìó çàêîíó: ÷èñëî âûñòðåëîâ äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, ÷èñëî èñïûòàíèé óñòðîéñòâà äî ïåðâîãî îòêàçà, ÷èñëî áðîñàíèé ìîíåòû äî ïåðâîãî âûïàäåíèÿ ãåðáà (èëè ðåøêè) è ò.ï. Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âêëè÷èíû ξ äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùóþ ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, íàéäåì å¼ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ φ(z) = ∞ X m=1 pq m−1 m z = pz ∞ X m=1 (qz)m−1 = pz . 1 − zq Äàëåå íàõîäèì ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ 90 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. φ′ (z) = p 2pq , φ′′ (z) = . 2 (1 − zq) (1 − zq)3 Íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè z = 1 1 2pq 2q φ′ (1) = , φ′′ (1) = 3 = 2 . p p p 1 M (ξ) = . p  2 1 2q 1 q 2 D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1)) = 2 + − = 2. p p p p Èòàê, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìåþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîëó÷èëè (4.6) M (ξ) = D(ξ) = λ. 4.4. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ìû âñòðå÷àëèñü êîãäà ðåøàëè çàäà÷ó î âûáîðêå. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ïðàêòèêå ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðèåìî÷íîãî êîíòðîëÿ êà÷åñòâà ïðîäóêöèè, â çàäà÷àõ îðãàíèçàöèè âûáîðî÷íûõ îáñëåäîâàíèé è äð. Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä: ξ 1 2 p 0 Ck CL K−L k CK 1 C k−1 CL K−L k CK 2 C k−2 CL K−L k CK ... l ... l C0 CL K−L k CK Çäåñü k 6 K, l = min(k; L), L 6 K è ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà åäèíèöå. Òèïè÷íîå òîëêîâàíèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíà ÷èñëó áåëûõ øàðîâ, ïîïàâøèõ â âûáîðêó áåç âîçâðàùåíèÿ k øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé K øàðîâ, èç êîòîðûõ L áåëûõ. k CLm · CK−L P (ξ = m) = , k CK M (ξ) = k · k = 0, 1, 2, . . . , l. L . K Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 91 Ðàññìîòðåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàëåå ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 4.5. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå 4.3. Ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà [a; b], åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò 0 íà ýòîì îòðåçêå è ðàâíà íóëþ âíå åãî: Îïðåäåëåíèå  f (x) = C ïðè x ∈ [a; b], 0 ïðè x ∈ / [a; b]. Èñïîëüçóÿ 6 ñâîéñòâî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (ï. 3.18), íàéä¼ì êîíñòàíòó C . Zb Z+∞ Cdx = 1 =⇒ f (x)dx = 1 =⇒ −∞ b =⇒ Cx a a = 1 =⇒ C(b − a) = 1 =⇒ C = 1 . b−a Èòàê, ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: ( f (x) = 1 ïðè x ∈ [a; b], b−a / [a; b]. ïðè x ∈ (4.7) Ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà 4 ïëîòíîñòè (ï. 3.18) íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: Zx F (x) = f (t)dt. −∞ 92 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Zx Ïðè xb F (x) = a Zb 0dt + −∞ a x−a 1 dt = ; b−a b−a 1 dt + b−a Zx 0dt = b b−a = 1. b−a Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:    0x − a ïðè x < a, ïðè a 6 x 6 b, F (x) =   b−a 1 ïðè b < x. (4.8) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè a è b. Ãðàôèêè ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîé íà [a;b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 19. f (x) F(x) 1 a b x a b x Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ðèñ. 19. Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 93 Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ: Z+∞ Zb M (ξ) = xf (x)dx = −∞ x 1 x2 dx = · b−a b−a 2 a b = a b 2 − a2 a+b = 2 · (b − a) 2 Z+∞ Zb (a + b)2 x2 (a + b)2 2 D(ξ) = = dx − = x f (x)dx − 4 b−a 4 −∞ a 3 b = 1 x (a + b) (b − a)3 (a + b)2 · − = − = b−a 3 a 4 3 · (b − a) 4 4 · (a2 + ab + b2 ) − 3 · (a + b)2 (b − a)2 = = . 12 12 2 Èòàê, äëÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé íà [a; b] ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷èì: M (ξ) = a+b ; 2 D(ξ) = (b − a)2 . 12 (4.9) 4.1. Íàéä¼ì P {x 6 ξ < x + ∆x} ïðè óñëîâèè, ÷òî a 6 x < x + ∆x 6 b. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 5 ïëîòíîñòè (ï. 3.18), ïîëó÷àåì: Çàìå÷àíèå x+∆x Z P {x 6 ξ < x+∆x} = x+∆x Z f (x)dt = x x x + ∆x − x ∆x 1 dt = = . b−a b−a b−a Êàê âèäèì, ýòà âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò x, ò.å. îò ïîëîæåíèÿ ïðîìåæóòêà âíóòðè [a; b], à òîëüêî îò äëèíû ïðîìåæóòêà ∆x. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ  ðàâíîìåðíîå. Âåðîÿòíîñòü ðàñïðåäåëåíà ¾ðàâíîìåðíî¿ ïî îòðåçêó [a; b] (ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà). Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé a+b âåëè÷èíû ðàâíî ñåðåäèíå îòðåçêà: M (ξ) = . 2 4.3. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [0; 4] è ðàâíà íóëþ âíå åãî. Íàéòè ïëîòíîñòü è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Ïðèìåð 94 Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. I ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 4.3 ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 4]. Ñëåäîâàòåëüíî:  (  1  0x ïðè x < 0, ïðè x ∈ [0; 4], ïðè 0 6 x 6 4, f (x) = F (x) = 4   4 0 ïðè x ∈ / [0; 4], 1 ïðè x > 4, M (ξ) = 2; D(ξ) = Îòâåò M (ξ) = 2; D(ξ) = (4 − 0)2 4 = ≈ 1,333. 12 3 4 ≈ 1,333. 3 4.6. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 4.4. Ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì (ïîêàçàòåëüíûì), åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  −λx λe ïðè x > 0, f (x) = (4.10) ïðè x < 0, ãäå λ > 0. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì λ > 0. Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: Zx ïðè x > 0 F (x) = Zx f (t)dt = −∞ λe−λt dt = −e−λt x Z ïðè x < 0 F (x) = = 1 − e−λx ; Zx f (t)dt = −∞ x 0dt = 0. −∞ Èòàê, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  F (x) = 1 − e−λx ïðè x > 0, ïðè x < 0. (4.11) Ãðàôèêè ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 20. Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Ëåêöèÿ 4. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. f (x) 95 F(x) λ 1 x x Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ðèñ. 20. Z+∞ Z+∞ Z+∞ M (ξ) = xf (x)dx = xλe−λx dt = λ xe−λx dx = " −∞ # Z+∞ ∞ du = dx 1 = −xe−λx + e−λx dx = = dv = e−λx v = − e−λx λ ∞ 1 1 = − e−λx = . λ λ Ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåäèòå âûêëàäêè è äîêàæèòå, ÷òî: Z+∞ Z+∞ 1 1 1 D(ξ) = x2 f (x)dx − 2 = x2 λe−λx dx − 2 = 2 . λ λ λ u=x −∞ Èòàê, äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷èì: 1 1 (4.12) M (ξ) = ; D(ξ) = 2 . λ λ Çàìå÷àíèå 4.2. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷åðåç íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . ., èìåþùèå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, ïðîèñõîäèò êàêîå-ëèáî ñîáûòèå (íàïðèìåð, ïîñòóïàåò âûçîâ íà òåëåôîííóþ ñòàíöèþ èëè ïðèõîäèò ïîêóïàòåëü â ìàãàçèí), òî êîëè÷åñòâî ýòèõ ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ çà ëþáîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì a = λt.