Вероятность переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени

Лекция №3 § 4. Вероятность переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени ̂(t) имеет постоянное значение W Рассмотрим случай, когда оператор возмущения V между моментами включения и выключения взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне этого интервала, т.е. ̂(t) = { V W = const, 0 < t < τ . 0, t ≤ 0, t ≥ τ (4.1) В этом случае говорят о переходах под действием постоянного возмущения. Т. к. (1) матричный элемент Wmn не зависит от времени, то интеграл в выражении для 𝑎mn (τ) вычисляется просто, τ τ 1 1 Wmn (1) 𝑎mn (τ) = ∫ Wmn eiωmn t dt = Wmn ∫ eiωmn t dt = (1 − eiωmn τ ). iℏ iℏ ℏωmn (4.2) А вероятность перехода за время действия возмущения будет определяться формулой, 𝓌mn (τ) = 2 |Wmn |2 F(Em − En ), 2 ℏ (4.3) где F(Em − En ) = 1 − cos{(Em − En )𝜏/ℏ} . (Em − En )2 ℏ−2 (4.4) При Em = En функции F(Em − En ) имеет максимальное значение, равное τ2 /2. При |Em − En | = 2πℏ/τ, 4πℏ/τ, … эта функция обращается в нуль. Далее, при малых значениях τ ≪ ℏ/En вероятность перехода пропорциональна τ2 . При достаточно больших 𝜏 по сравнению с характерными периодами ℏ/𝐸𝑛 в системе функция F(Em − En )может быть выражена через δ – функцию F(Em − En ) = τπℏδ(Em − En ) . (4.5) Эта следует из того, что имеет место следующая формула sin2 αt lim = δ(α) . t→∞ πtα2 (4.6) Действительно при α ≠ 0 вышеуказанный предел равен нулю, при α = 0 имеет место равенство sin2 αt tα2 = t, так что предел равен бесконечности. Интегрируя по 𝛼 в пределах от −∞ до + ∞ (делая подстановку ξ = αt) получим ∞ ∞ 1 sin2 αt 1 sin2 ξ ∫ dα = ∫ 2 dξ = 1 . π tα2 π ξ −∞ −∞ (4.7) Отсюда, формула для вероятности перехода может быть приведена к виду 𝓌mn (τ) = 2π |Wmn |2 τδ(Em − En ). ℏ (4.8) Из этого выражения видно, что вероятность перехода пропорциональна времени 𝜏 действия возмущения. Следовательно, можно определить вероятность перехода, отнесённую к единицу времени, ̃mn = P 2π |Wmn |2 δ(Em − En ) ℏ (4.9) которое определяет скорость перехода или число переходов в секунду. Это выражение, как и следовало ожидать, отлично от нуля лишь при Em = En : под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковой энергией. При выводе выражения (4.6) мы использовали формулу для вероятности квантового перехода из состояния «n» в состояние «m», найденное в первом порядке теории возмущений. Но известно, что вероятность 𝓌(t) = |𝑎n (t)|2 пребывания системы в состоянии «n», равная единице в момент времени t=0, будет уменьшаться, причём в большинстве случаев по экспоненциальному закону, так что t |𝑎n (t)|2 = exp (− ), T (4.10) где величину T называют временем жизни состояния «n». Поэтому формула для вероятности квантового перехода из состояния «n» в состояние «m» справедлива лишь для времени 𝜏, значительно меньших времени жизни состояния, т.к. только в этом случае при выводе выражения для вероятности квантового перехода в качестве начального условия можно подставить 𝑎m (0) = δmn. Поэтому представление о вероятности переходов в единицу оправдываются только для времен 𝜏, удовлетворяющих неравенствам ℏEn−1 ≪ τ ≪ T времени (4.11) Практически во всех физических системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежат непрерывной (или почти непрерывной) группе состояний. Измерения сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния «m», обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами Wmn . Для получения такой вероятности надо просуммировать выражение (4.8) по всем состояниям «m» и усреднить по начальным состояниям «n», обладающими одинаковыми матричными элементами Wmn . Этим и оправдывается использование выражения (4.8), содержащего δ – функцию. Если обозначить число конечных состояний данного типа, приходящихся на единичный интервал энергии Em , через ρ(Em ), то полная вероятность перехода в единицу времени будет определяться выражением ̃mn ρ(Em )dEm = Pmn = ∫ P 2π |Wmn |2 ρ(Em ) ℏ (4.12) при условии Em = En . Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе. Выражение (4.12) носит название «золотое правило Ферми». § 5. Переходы под действием периодического возмущения ̂ (t) зависит от времени Рассмотрим случай, когда оператор возмущения W периодически между моментами включения и выключения взаимодействия ̂ ± (t) = 𝜐 exp(±iωt) W (5.1) и скачком меняется до нуля вне этого интеграла. В этом случае 𝜏 (1) 𝑎mn 1 1 exp[i(ωmn ± ω)τ] − 1 = ∫ Wmn (t) exp(iωmn t) dt = 〈𝑚|𝜐|𝑛〉 = iℏ iℏ i(ωmn ± ω) = 1 1 − exp[i(ωmn ± ω)τ] τ 〈𝑚|𝜐|𝑛〉 . ℏ (ωmn ± ω) ℏ Аналогично рассуждая для времён τ ≫ E n (5.2) и τ ≪ T получим для вероятности квантового перехода ± (τ) 𝓌mn = 2π |〈m|υ|n〉|2 τδ(Em − En ± ℏω) ℏ (5.3) и вероятность перехода в единицу времени будет определяться формулой ± ̃mn P = 2π |〈m|υ|n〉|2 δ(Em − En ± ℏω). ℏ (5.4) Таким образом, при возмущении, периодически зависящем от времени, переходы происходят в состояния, обладающие энергией Em , удовлетворяющей условию Em = En ∓ ℏω . (5.5) Следовательно, при возмущении W+ (t) = υ+ eiωt при квантовом переходе система теряет энергию ℏω, т.к. Em = En − ℏω, а при возмущении W− (t) = υ− e−iωt система приобретает энергию ℏω, т.к. Em = En + ℏω. Назовём квантовую систему, которая вследствие квантового перехода под действием возмущения, теряет или приобретает энергию ℏω системой I, а систему, за счёт которой происходит изменения в системе I, системой II. Суммарная энергия полной системы, состоящей из обеих взаимодействующих систем, при квантовом переходе системы I из состояния «n» в состояние «m» остается неизменной. Предположим, что системой II, взаимодействующей с системой I, является система фотонов с энергией ℏω, тогда вероятность перехода в единицу времени из определённого начального состояния (i) в определённое конечное состояние 〈f〉 можно записать в виде Ркон.нач. = 2π 2 ± ± ) |〈кон|υ± |нач〉| 𝛿(𝐸нач −𝐸кон , ℏ − − где Eнач = Ei + ℏω, Eкон = Ef (поглощение фотона) + + Eнач = Ei , Eкон = Ef + ℏω (испускание фотона). (5.6)