Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Лекция 1.  Примеры задач вариационного исчисления  Задача Бернулли  Общая задача вариационного исчисления  Функциональные пространства  Функционалы  Вариация функционала 2 Задача Дидоны древняя оптимизационная задача Царевна Элисса (Дидона) (825 г. до н.э.) вынуждена покинуть родной город Тир (Финикия) Ее преследовал родной брат-тиран Пигмалион, царь Тира, убивший ее мужа Сихея, чтобы завладеть его богатством На нескольких кораблях она отправилась вдоль африканского побережья средиземного моря Задача Дидоны После долгих скитаний Дидона смогла купить у берберского царя Ярба (предводителя аборигенов) столько земли, сколько покроет бычья шкура Она повелела бычью шкуру разрезать на тонкие полоски, связать их и положить полученный ремень на землю так, чтобы площадь огораживаемого участка была как можно больше Задача Дидоны На этой земле она заложила цитадель Карфагена (современный Тунис) Бирсу (что означает «шкура») Холм Бирса (Byrsa), на котором в VIII веке до нашей эры был легендарной принцессой Элиссой-Дидоной основан Карфаген. Задача Дидоны Формальная постановка задачи Среди всех плоских кривых заданной длины, концы которых лежат на заданной прямой, найти кривую, которая вместе с прямолинейным отрезком, соединяющим ее концы, ограничивает фигуру наибольшей площади Задача Дидоны Эта задача имеет ряд вариантов, например, такой: Пусть концы нити расположены в заданных точках А и В на берегу моря. Если обозначить у(х) функцию, график которой представляет сухопутную границу участка, то задача сводится к максимизации площади b S   y ( x)dx при заданном значении длины нити a b   2 L   1  y ( x) dx / a и заданных краевых значениях y(a) = 0, y(b) = 0. Задача Дидоны Решение Задача Дидоны Задача о брахистохроне Была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли и решена 26 января 1697 года Исааком Ньютоном. y ya A g М v ds yb a B b x Задача Иогана Бернулли (1696г) о кривой наибыстрейшего спуска y ya A g М v yb ds B В начальный момент тело масой m находится в точке А и под действием силы тяжести спускается по горке в точку В. При какой форме горки, т.е. кривой y=y(x) тело a b x спустится за наименьшее время. При какой форме крыши вода по ней стекает наиболее быстро? y ya Математическая модель задачи A g М v ds yb a B b x При движении сумма потенциальной и кинетической энергии сохраняется и равна полной энергии Е. Учтем, что вначале скорость v=0. mv 2 ( x ) E  U  K  mgy ( x )   mgya 2 откуда получаем, что скорость тела в точке М равна v( x )  2g  ya  y ( x )  y ya Математическая модель задачи A g dy y  dx М v ds yb Тогда время пробега элементарного отрезка ds будет B a b x ds dt   v  dx  2   dy  2g ( ya  y ) 2  1  y 2 ( x ) 2g ( ya  y ( x )) dx а время спуска из А в В для кривой y(x) определяется как t b a t   dt   1  y2 ( x ) dx    y  2g ( ya  y ( x )) y ya A g М v ds yb Математическая модель задачи b B min  y   min  y( x) a b x y( x) a 1  y 2 ( x ) 2g ( ya  y ( x )) dx Здесь Ф – нелинейный функционал «функция от функции», отображающий множество функций y(x), удовлетворяющих на концах отрезка условиям y(a)=ya, y(b)=yb на множество чисел. Теперь осталось среди всевозможных функций y(x) найти такую, при которой время было бы минимальным. Но вот вопрос, как найти такую минимизирующую функционал функцию? Бернулли в свое время нашел такую минимизирующую функцию, которая получила название «брахистохрона». Ее график похож на тот, что представлен на рисунке. С этой задачи и зародился новый раздел математики – «вариационное исчисление» по аналогии с «дифференциальным исчислением». Задача о цепной линии Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия. Изопериметрические задачи Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности которая проходя через две окружности, имеет минимальную площадь. Такая поверхность излучает наименьшее количество тепла. Основной принцип геометрической оптики Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время. Принцип наименьшего действия Основной принцип современной физики, химии, социологии, и многих других наук. Впервые был сформулирован Пьером Луи де Монпертюи для оптики и механики. В дальнейшем его идею развили Гамильтон, Эйлер и Лагранж. Применение вариационного исчисления • Задачи сопротивления материалов и прочности • Задачи теоретической механики • Задачи теории оптимального управления Карл Густав Якоб Якоби Карл Те́одор Вильге́льм Ве́йерштрасс Софья Васильевна Ковалевская Общая задача вариационного исчисления min  y  y( x) • Имеется функционал Ф[у(x)]=р, определенный на множестве функций yY, удовлетворяющих граничным условиям. • Требуется среди этих функций найти такую функцию ym, на которой функционал достигает своего минимума (или максимума), т.е. для y(x)ym(x), Ф[у(x)]>Ф[уm(x)]. • Кривая уm(x) в этом случае называется экстремалью. Функциональные пространства Функциональное пространство совокупность функций, обладающих тем или иным набором свойств, с определенным для них тем или иным способом понятием расстояния. Элементами (точками) функционального пространства являются функции. Расстояние между функциями (точками) может определяется по разному, на основании введенного в данном пространстве понятия нормы. Различают пространства: • Непрерывных функций; • Функций, имеющих одну непрерывную производную; • Функций, имеющих n непрерывных производных; • Интегрируемых функций, и т.д. Функциональное пространство непрерывных функций Обозначается С[ a,b] Элементами являются непрерывные на отрезке функции. Норма в этом пространстве (норма Чебышёва) определяется формулой: xt  C [ a ,b ]  max xt  t[ a ,b ] В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:  xt , yt C[ a ,b]  xt   yt  C [ a ,b ]  max xt   yt  t[ a ,b ] Функциональные пространства непрерывно дифференцируемых функций Обозначается С[ a ,b] , где n – порядок существующей непрерывной производной. Элементами являются функции, имеющие непрерывные производные до n-го порядка включительно на заданном отрезке. Норма в этом пространстве определяется формулой: n xt  C n  max xt   max xt   ...  max x n  t  [ a ,b ] t [ a , b ] t [ a , b ] t[ a , b ] В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:  xt , y t  Cn [ a ,b ]  max xt   yt   max xt   yt   ...  max x n  t   y  n  t  t[ a , b ] t[ a , b ] t[ a , b ] Пример 1. Вычисление расстояний между функциями в функциональных пространствах Расстояние между функциями xt   t  1, yt   t  1 в пространстве непрерывных функций на отрезке [0; 1] определится следующим образом: 2  xt , y t C [ 0 , 1]     3  max t 2  1  t 3  1  max t 2  t 3  2  t[ 0 , 1] t [ 0 , 1] 58  2.148 27 Между этими же функциями в пространстве С[1a,b] расстояние определится следующим образом:   xt , y t С 1 [ 0 , 1]   max t 2  1  t 3  1  t [ 0 , 1]   max t  1  t  1  max t 2  t 3  2  2 t [ 0 , 1] 3 t [ 0 , 1] 58 1 67  max 2t  3t     2.481 t [ 0 , 1] 27 3 27 2 Функционалы Функционалом называют отображение, заданное на множестве функций и имеющее числовую область значений C a ,b    . Примеры функционалов: 1. Длина кривой, определенной заданной функцией: b J y    1  y 2 dx a 2. Площадь верхней полуплоскости, ограниченную кривой заданной длины l, проходящей через заданные точки (-a, 0), (a,0) (простейшая задача Дидоны): a J(y)   ydx при выполнении условия: a a  a 1   y  dx  l 2 Функционалы 3. Время, за которое материальное тело проходит путь из точки A(0, 0) в точку B(a, b), под действием силы тяжести (задача о брахистохроне): a T y   1   y  2 dx 2 gy 4. Полная энергия деформированной балки имеющей форму y(x) длиной l, под действием распределенной нагрузки q(x):  EI z  2   J y    y x   qx   y x  dx 2  0 l Функционалы Функционал называется линейным, если он обладает свойством линейности по своему аргументу: F  A  x  B  y   A  F x   B  F  y  Функционал называется непрерывным, если он обладает свойством непрерывности по своему аргументу: F x  x   F x    0 x 0 Функционал вид: называется интегральным, если он имеет t2 J x    F t , x, x'dt t1 Дифференциал Мы знаем, что при нахождении dy y dx х y=y(x) минимума функции используют производную. Дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента в каждой точке. dy( x)  y ( x)dx По определению дифференциал – это главная линейная часть приращения функции при приращении ее аргумента. Как видно из рисунка, дифференциал dy может не совпадать с приращением функции y. Как известно, в точке экстремума дифференциал равен нулю. Аналогом дифференциала для функционала вводят понятие вариация функционала. Вариация функции у(х). Пусть у(х) является функцией из класса Y y Вариацией функции y(х) (или приращением функции) называется разность между двумя функциями у(х) и y*(x), принадлежащими выбранному классу Y A y y y* B a b  y ( x )  y* ( x )  y ( x ) x Вариация сама является функцией, как показано на рисунке. Для близких, в смысле выбранного расстояния в Y функций вариация будет близка к нулевой функции. Вариация функционала Вариацией функционала называется главная линейная часть приращения функционала при бесконечно малом изменении функции: F x   F x  x   F x   F x   ox  , причем F x   A  x Примеры вычисления вариации функционалов: 1. Для функционала , функции одной переменной, вариация будет вычисляться: Вариация функционала 2 2. Для функционала F x    xt dt , функции одной 1 переменной x(t), вариация будет вычисляться: 2 2  F x   lim F x  x   F x   lim    xt   xt dt   xt dt   x  0 x  0 1 1   lim x  0 2 2 1 1  xt   xt   xt dt   xt dt. Вариация функционала b   Таким образом, для вариации функционала I  y    F x, y, y / dx a имеет место формула: b       I  y    Fy/ x, y, y /  y  Fy// x, y, y /  y / dx a