Устойчивость стержней на упругом основании.

Устойчивость стержней на упругом основании. Рассмотрим стержень на упругом основании и опорах по концам стержня (рис. 43). Как известно, винклеровское упругое основание обладает двумя свойствами: реакция основания пропорциональна внедрению в основание и реакция основания в точке не зависит от внедрения в соседних точках. Поэтому на стержень будут действовать сжимающие силы P и горизонтальная реакция левой опоры, и давление со стороны основания q=cv Дифференциальное уравнение для такого стержня можно записать в виде: . Введем обозначения: . Дифференциальное уравнение примет вид: . Характеристический полином запишем в виде: . Найдем его корни. . Так r>0, то p2 отрицательно, и все корни мнимые. . Решение дифференциального уравнения можно записать Для определения констант запишем краевые условия. В нашем случае они связаны с нулевым прогибом и изгибающим моментом на концах стержня. Для ненулевого решения однородной системы уравнений потребуем равенство нулю определителя матрицы системы. Раскрывая определитель, получим: . . Равенство возможно, только для специально подобранного соответствия между жесткостью балки на изгиб и жесткостью упругого основания. Поэтому, не рассматривая этот случай, можно записать: . Тогда Решение множество форм потери устойчивости, причем каждому соотношению жесткости упругого основания, жесткости балки и ее длины соответствует своя форма, для которой критическая сила минимальна. Изобразим графики, отложив по осям P/Pэ и Каждому значению r* соответствует множество форм, причем истинная форма соответствует минимальному значению критической силы. Точки перехода от одной формы к другой легко найти из соотношения: Если число полуволн потери устойчивости велико (длинный стержень), то можно продифференцировать по n и найти минимум. Тогда: В этом случае критическая сила практически не зависит от условий закрепления стержня по концам. Совместное действие сжатия и кручения. Устойчивость стержня при кручении. Рассмотрим стержень, загруженный крутящим моментом. Для идеального стержня кручение вызывает поворот верхнего сечения относительно нижнего, причем ось стержня остается прямой. Предположим, что стержень потерял устойчивость и изогнулся в пространстве, его ось образовала кривую двоякой кривизны (рис. 45). Введем для стержня локальную систему кординат так, что ось OX – касательная к оси изогнутого стержня, а две других оси направлены по нормалям к оси OX и проходят через локальные главные оси сечения стержня. Рассмотрим внутренние силовые факторы в сечении стержня после потери устойчивости. Внешний крутящий момент теперь дает проекции на все три локальных оси связанные со стержнем, и это дает три внутренних силовых фактора: крутящий момент и два изгибающих момента. Эти изгибающие моменты приводят к изменению кривизны стержня. Предположим для простоты, что моменты инерции в двух плоскостях одинаковы, тогда дифференциальные уравнения изгиба примут вид: Обозначим , преобразуем уравнения, и будем искать решение в виде: Для определения констант примем шарнирные опоры на концах, т.е. при , тогда: Для ненулевого решения приравняем определитель к нулю, и найдем: Для других краевых условий решение аналогично. После достижения крутящим моментом критического значения исходная прямолинейная форма закрученного стержня становится неустойчивой, и стержень теряет устойчивость, изгибаясь одновременно в двух плоскостях. Совместное действие сжатия и кручения. Если на стержень действует и сжимающая сила и крутящий момент, то решение можно получить аналогично. Дифференциальное уравнение изгиба изменится, в нем добавятся слагаемые для изгибающего момента от продольной силы, как мы их записывали раньше. . Введем обозначения: и получим систему двух дифференциальных уравнений. Решение будем искать в виде где: Для того, чтобы найти нетривиальное решение запишем краевые условия и потребуем, чтобы определитель был равен 0. Из последнего уравнения получим: После возврата к исходным обозначениям, получим условия критического состояния: Его можно исследовать обычными приемами комбинированного нагружения, задавая зависимость между сжимающей силой и крутящим моментом.