Условная вероятность. Независимость.

Тема 1. Первоначальные понятия и определения теории вероятностей. Лекция № 2. Условная вероятность. Независимость. План: § 1. Условная вероятность. § 2. Вероятности, определяемые через условные вероятности. Урновые модели. § 3. Независимость событий. § 4. Повторные испытания. § 5. Приложения условной вероятности (с/р). § 1). Понятие условной вероятности является одним из основных рабочих инструментов теории вероятностей. Предварительный пример. Допустим, что из общего числа N человек NA страдают дальтонизмом, т. е. не различают некоторых цветов, и NH – женщины. Пусть даны события: А = {случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом}, H = {случайно выбранное лицо является женщиной}. Тогда Иногда интерес представляет не всё множество N людей, а подмножество одних женщин, и нужно найти вероятность того, что случайно выбранная женщина страдает дальтонизмом. Эта вероятность равна , где NHA – число женщин, страдающих дальтонизмом. В этом случае не вводится новых понятий, но необходимы новые обозначения, которые указывали бы, какое частное подмножество рассматривается. Наиболее широко употребляется символ P(A|H), означающий «вероятность события А (дальтонизм) при условии, что произошло событие H (выбрана женщина)». Тогда, имеем формулу . Таким образом, можно сформулировать следующее определение. Определение 1.Пусть H – событие, имеющее положительную вероятность, и А – произвольное событие. Положим ; (1) Определённую таким образом величину будем называть условной вероятностью события А при условии H (при гипотезе H). 1 Замечания:1). Если все элементарные события ПЭС равновероятны, то условная вероятность равна отношению числа элементарных событий, содержащихся в пересечении событий А и H, к числу элементарных событий, содержащихся во множестве H. 2). Условные вероятности остаются неопределёнными, когда гипотеза H имеет нулевую вероятность. Это не имеет значения для ДПЭС, но важно в общем случае. 3). Хотя символ сам по себе и удобен, трудно дать его точное словесное выражение. Часто слова «при условии H» заменяют словами «если известно, что H произошло». Таким образом, наши формулы и символы не допускают никакой двусмысленности, но словесные выражения недостаточно чёткие и требуют точного истолкования. В противоположность условным вероятностям рассматривают так называемые безусловные вероятности (см § 3). Рассматривая условные вероятности различных событий при одной и той же частной гипотезе H, мы приходим к возможности с помощью H задать новое ПЭС; нужно лишь все вероятности умножить на постоянный множитель , чтобы сделать вероятность нового ПЭС равной единице. Это показывает, что все общие теоремы о вероятностях верны также и для условных вероятностей, если эти условные вероятности берутся при одном и том же условии H. Например, можно переписать основную формулу теоремы сложения: (2) . Аналогично можно перенести на условные вероятности все теоремы Лекции 1. Формулу (1) часто применяют в другом виде. Теорема 1 (теорема умножения). Пусть H – событие, имеющее положительную вероятность, и А – произвольное событие. Тогда имеет место формула: (3) P (AH) = P (A|H) P (H), т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности первого из этих событий на условную вероятность второго при условии, что первое произошло. Следствие 1. Формулу (3) можно обобщить на случай трёх событий: (4) Задание 1: доказать Сл. 1, приняв сначала за гипотезу H = BC, а затем ещё раз применив формулу (3). З-е: дальнейшие обобщения на случай 4-х и более событий очевидны. В заключение параграфа приведём простую формулу, часто оказывающуюся полезной. Пусть H1, H2, …, Hn – совокупность взаимно исключающих друг друга событий (гипотез), одно из которых обязательно происходит (т.е. объединение гипотез H1, H2, 2 …, Hn совпадает с ПЭС). Тогда любое событие А может произойти лишь в сочетании с какой-то из гипотез Hj, или, в наших обозначениях: (5) А = AH1 + AH2 + …+ AHn. Так как события AHj попарно несовместны, то по соответствующей формуле теоремы сложения получим: (6) Таким образом, доказана формула полной вероятности. Сформулируем соответствущую теорему. Теорема 2 (теорема полной вероятности). Пусть событие А может осуществиться с одной и только одной из n попарно несовместных и равновозможных гипотез H1, H2, …, Hn, тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А при этой гипотезе: Замечание: Формула (6) полезна в тех случаях, когда оценка условных вероятностей легче, чем прямое вычисление вероятности . Примеры. Формула Байеса. § 2). Задание 2: из описания урновых моделей эффекта последействия выписать модель урновой схемы, рассмотреть и записать особенности: урновой схемы Пойа, модели Эренфестов теплового обмена и урновых моделей при классификации (стр. 125 – 129, примеры: (в) и (г)). § 3). В приведённых выше примерах условная вероятность , вообще говоря, не была равна безусловной вероятности , т. е. знание того, что событие H произошло, изменяло оценку шансов появления события А. Только в том случае, когда вышеуказанное знание не оказывает никакого влияния на оценку шансов появления события А, т. е. когда будем говорить, что событие А не зависит от события H. Из формулы (3) следует, что условие можно записать в этом случае в форме: (7) P (AH) = P (A) P (H). Равенство (7) симметрично относительно А и H и показывает, что если А не зависит от H, то и H не зависит от А. Определение 2. Два события А и H называются независимыми, если удовлетворяют соотношению (7). Замечания:1). О. 2 применимо и в случае P(H)=0, когда условная вероятность не определена. 3 2). Более точный термин «события А и H – статистически независимы», но в русской литературе он применяется редко. Примеры: а). Из колоды игральных карт (52 шт.) вынимают наугад 1 карту. Из соображений симметрии мы ожидаем, что события: А = {извлечённая карта масти «вини»} и H = {извлечённая карта – туз} – независимы. Действительно, и , а вероятность одновременного осуществления этих событий равна: . б). Бросают два правильных игральных кубика. Проверим, что события: А = {на 1-м кубике выпало 1 очко} и H = {на 2-м кубике выпало чётное число очков} – независимы. Действительно, вероятность их одновременного осуществления равна произведению их вероятностей, а именно: и Задание 3: Изучить и законспектировать пример (в) (стр. 132) про семьи с тремя детьми. Независимость событий А и H означает, что из факта появления события H нельзя извлечь никаких следствий относительно появления события А; поэтому независимость событий А и H должна быть эквивалентна независимости событий А и и т. д. Поэтому имеет место следующая: Лемма 1. Если события А и В - независимы, то независимы и пары: А и B ; A и В; A и B. В общем случае n событий можно сформулировать следующее Определение 3. События A1, A2, …, An называются взаимно независимыми, если для всех комбинаций индексов справедливы следующие правила умножения: ………………………………………. (8) Замечания:1). В первой строке формул (8) имеется уравнений, во второй – и т. д. След-но, всего имеется условий, которые должны быть выполнены. С другой стороны, условий первой строки достаточно для обеспечения попарной независимости. 2). Различие между взаимной и попарной независимостью имеет скорее теоретический, чем практический интерес. Практически важных примеров попарно независимых событий нет, но чисто теоретически такие примеры можно составить, как показал Бернштейн (рассмотреть пример из сноски 1) на стр. 134). § 4). Понятие независимости позволяет дать аналитическую формулировку наглядного представления об опытах, «повторяющихся при неизменных условиях». 4 Рассмотрим ПЭС Ω, представляющее некоторый мыслимый опыт. Пусть Е1, Е2, … – точки ПЭС Ω, обозначим их вероятности через р1, р2, … . Возможными исходами двух последовательно проведённых опытов являются пары (Ej, Ek), которые и образуют новое ПЭС. Вероятности в этом ПЭС могут быть определены разными способами. Однако когда экспериментатор говорит, что 2 измерения совершаются при одинаковых условиях, он подразумевает независимость: исход первого измерения не должен влиять на исход второго, т. е. (9) Это равенство определяет вероятность любой пары возможных исходов. Покажем, что величины дают в сумме 1. Для этого заметим, что в сумме каждое слагаемое встречается один и только один раз, так что Поэтому (9) можно принять за определение вероятностей. Пусть А и В – два произвольных события в первоначальном ПЭС Ω.Событие «А появилось при 1-м испытании, В – при втором» обозначим (А, В). Допустим, что А содержит точки а В – точки . Тогда (А, В) будет объединением всех пар и, также как и раньше: (10) Поэтому события А и В независимы. Очевидно, что определение, выраженное с помощью формулы (9) приводит к тому, что любое событие, связанное со 2-м испытанием, оказывается независимым от любого события, связанного с 1-м испытанием. Это определение описывает «одинаковые опыты». Ясно, что всё вышесказанное применимо также к последовательности r испытаний, поэтому можно сформулировать следующее Определение 4. Пусть Ω – ПЭС с точками Е1, Е2, … и соответствующими вероятностями р1, р2, … . Под r независимыми испытаниями, соответствующими ПЭС Ω, будем понимать ПЭС, точками которого являются группы из r исходов с отнесёнными им вероятностями . (11) 5