Уравнения математической физики. Структура математических моделей задач математической физики

Уравнения математической физики. Структура математических моделей задач математической физики. Большинство физических явлений (в областях: динамика жидкости, электричество, магнетизм, механика, оптика, теплопередача) могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. (ДУЧП) Что такое ДУЧП? В отличие от обыкновенных ДУ, в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных. Примеры: Зависит от координаты x и времени t. Зачем необходимо изучать ДУЧП? Большинство физических законов природы формируется на языке уравнений с частными производными. Примеры: закон теплообмена Ньютона, уравнение Навье-Стокса, уравнение движения Ньютона. Во всех этих примерах физические явления описываются в зависимости от пространственных и временных производных. ПРИМЕРЫ: распространение звука в рельсах, звука на перроне вокзала, и др. Приведем примеры задач, которые описываются в ДУЧП. 1. Упругие колебания балок: - продольные - крутильные - изгибные Ранее мы рассматривали вагон (при последовательных колебаний), как систему твердых тел, при этом упругие колебания самих элементов не учитывали. Рассмотрим пример: К шкворневой балке приложена вынуждающая сила P. Процесс колебаний элемента определяется скоростью распространения изгибной волны, которая зависит от двух переменных: времени t и пространственной координаты x. 2. Диффузионные задачи - задачи теплообмена, при расчете теплового баланса кузовов пассажирских и рефрижераторных вагонов. Примеры физических явлений: источник тепла, холода; распространение радиоволн, звука на парках ПТО используется громкоговорящая связь, рации и др. Процесс передачи - распространение звука, радиоволн описывается ДУЧП, в зависимости от 2х переменных: пространственной х и временной t. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных. Характеристика параболических, гиперболических, эллиптических уравнений. Уравнение частными производными можно классифицировать по многим признакам. Классификация важна потому что, для каждого класса существует своя общая теория и методы решения. Признаки классификации: 1. Порядок уравнений - наивысший порядок частных производных (2-ой) (1-ый) 2. Число переменных (2-е: t и x) (3-и: t, x, y) 3. Линейность - уравнения делятся на линейные и нелинейные. В линейном уравнении переменные и их частные производные входят в уравнение линейным образом (не возводят в квадрат, не умножаются друг на друга). 4. Однородность - уравнение (1) однородно, если правая часть тождественно равно для всех x и y, иначе уравнение неоднородно. 5. Вид коэффициентов - Если в (1) А, В, С - постоянны, то это уравнение с постоянными коэффициентами (в противном случае с переменными). 6. Линейные уравнения делятся на три типа: - Параболические; - Гиперболические; - Эллиптические. Уравнения эллиптического типа - описывают установившиеся процессы, и определенным условием . Уравнения параболического типа описывают процесс теплопроводности и диффузии, (см(1)). Уравнения гиперболического типа - описывают колебательные системы волновые движения и определенным условием . Величина является функцией независимых переменных. Математическая модель теплопроводности. Рассмотрим задачу теплопроводности (параболическое уравнение). - общий вид уравнений теплопроводности l Граничные условия: Допустим температура на концах равна . (ГУ) все время постоянна и , Направление теплопритока. Начальные условия: Все физические процессы начинаются в некоторый момент времени (обычно нулевой ). Допустим температура проводника (до приложения источников тепла на границах) равно , тогда Задача имеет различные значения в зависимости от начальных условий. Математическая модель: - уравнение. (ГУ) - начальные условия. Структура математических моделей динамики упругих тел. Начальные и граничные условия. - уравнение движения; - граничные условия; - начальные условия. Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Существует целый арсенал методов, пригодных для практического использования, приведем некоторые из них. Метод разделения переменных. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Метод интегральных преобразований. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к уравнению с частными производными с (n-1) независимыми переменными. Следовательно, уравнение ДУЧП с двумя независимыми переменными можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Численные методы. Исходное уравнение с частными производными сводится к системе разностных уравнений, которая решается на ЭВМ. Кроме перечисленных методов существует множество других: метод функций Грина, метод интегральных уравнений, метод разложения по собственным функциям. Численные методы решения ДУЧП. Для интегрирования ДУЧП наиболее часто применяют разностные методы (методы сеток) основаны на представлении производных разностными выражениями. В этом случае исходная дифференциальная задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функций, расположенных в узлах сетки. Рассмотрим применение метода сеток для двухмерного ДУЧП. (1) В этом уравнении U (x; t) есть функция 2х переменных x и t. В динамике сплошных упругих сред таким уравнением описываются продольные колебания стержней. Здесь U (x; t) - перемещения сечений стержня; где a - скорость упругой волны деформаций, зависящая от модуля упругости E и плотности материала ; P(x; t) - внешняя распределенная нагрузка. Начальные условия: т.е. решить задачу статики. Граничные условия: Заменим в выражении (1) производные по x и t разностными выражениями: h - шаг по времени; k - шаг по длине. Выполним преобразование: Таким образом, мы перешли к системе алгебраических уравнений, решение которых не представляет труда. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов 1. Перечислить физические явления, которые описываются уравнениями математической физики. 2. Структура математической модели в задачах математической физики. 3. Понятие граничных условий. 4. На какие группы подразделяются дифференциальные уравнения в частных производных. 5. Какие явления описываются гиперболическими дифференциальными уравнениями в частных производных. 6. Структура математической модели задачи теплопроводности. 7. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. 7. Сущность сеточных методов. 8. Записать сеточный аналог частной производной второго порядка.