Уравнения математической физики

Уравнения математической физики Лекция 2 Понятие о математической модели. Модель – упрощенный способ представления реального объекта, позволяющий исследовать наиболее существенные свойства объекта. Простейшая модель - масштабная, (соблюдается геометрическое подобие оригинала и модели) широко используется в аэродинамике и гидродинамике. Аналоговые модели – модель с другим физическим смыслом, но с одним и тем же уравнением. Например, колебания шарика на пружинке и колебание электрического тока в автоколебательном контуре. диф. уравнение колебания шарика на пружинке, где m – масса шарика, кг, k – жесткость пружины, н/м, x – координата шарика, м, t – время, с. диф. уравнение электрических колебаний, где L – индуктивность, Генри, С – емкость, Фарад, I – ток, Ампер. Математическая модель – система уравнений и ограничений, описывающих поведение моделируемого объекта. Построим математическую модель колебания шарика на пружинке. Дифференциальное уравнение было представлено выше. Проверим размерности: кг*м/с2 +н/м*м = н + н=0. Выразим производную: Решение дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. Координату смещения шарика обозначим через Х, тогда первая производная от Х: - скорость движения шарика, м/с, - ускорение движения шарика, м/с2. Зададим условия однозначности: Зададим массу шарика m, жёсткость пружины к, начальную координату шарика х. Также могут быть заданы начальные скорость и ускорение движения шарика. Начальная скорость сообщается ударом по шарику, ускорение означает воздействие, растянутое во времени (задается дифференцируемой функцией). Необходимо, также задать пределы дифференцирования по времени и требуемый шаг по времени. Функция ускорения х2 вычисляется с учетом к, m и х. Далее по методу Эйлера: х2= - к*х/m, х1=х1 + Н*х2, х=х + Н*х1, t=t+H. Решение получается в виде таблицы, где приводятся t, x, x1 x2 для каждого мгновения времени с шагом Н. Ещё один способ решения дифференциальных уравнений – заменить производную приближенным выражением (конечной разностью). Аппроксимация производных Рассмотрим геометрический смысл производной. Yi Yi+1 Yi-1 Xi-1 Xi Xi+1 - правая производная. - левая производная. - центральная производная. – вторая производная (центральная). Это производная от разности правой и левой производной. Попробуем смоделировать колебания шарика с помощью метода конечных разностей: Избавимся от знаменателя в левой части: Выразим yi+1: – итоговая формула. Попробуем реализовать: Столбец справа совпадает со вторым столбцом слева (смещения шарика). Стоит отметить, что мы получили не затухающие колебания шарика. Колебания реального шарика будут затухать. Чтобы учесть сопротивление среды внесем в дифференцируемую функцию изменения: , где р – коэффициент, уменьшающий скорость движения и зависящий от вязкости среды. Чем больше коэффициент вязкости (0,3), тем быстрее затухают колебания. Теперь выразим в конечных разностях: Все значения совпадают с решением системы диф. уравнений.