Уравнение линии на плоскости

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ Равенство вида F ( x, y)  0 называется уравнением с двумя переменными x и y . (1) Примерами уравнений с двумя переменными являются уравнения 2 x  3 y  1, x 2  y 2  25  0 , sin x  sin y  1  0 . Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L . Например, уравнение 2 x  3 y  1 является уравнением прямой на плоскости, уравнение x 2  y 2  25  0 является уравнением окружности. ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ Пусть xOy - прямоугольная система координат на плоскости, l - прямая. Определение. Уравнение с двумя неизвестными x и y называется уравнением прямой l , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на прямой l . Положение прямой на плоскости относиУравнение прямой на плоскости тельно системы координат можно задать 1.1 Параметрические уравнения прямой:   x  x0  p1t  1. Точкой M 0 x0 , y0 , принадлежащей   y  y0  p2t прямой и её направляющим вектором  1.2. Каноническое уравнение прямой: p  p1 , p2 , параллельным прямой l   x  x0 y  y 0  p1 p2 2. Уравнение прямой с заданным угловым ко2. Угловым коэффициентом k  tg  и эффициентом и величиной отрезка, отсекавеличиной b отрезка, отсекаемого пря- емого прямой на оси Oy (школьное уравнемой на оси Oy . ние прямой): y  kx  b . 3. Уравнение прямой, проходящей через за3. Угловым коэффициентом и точкой данную точку с данным угловым коэффициM 0 x0 , y0 , принадлежащей прямой. ентом: y  y0  k ( x  x0 ) .    4. Двумя различными точками M 1 x1 , y1    и M 2 x2 , y2 , принадлежащими прямой. 5. Величинами a и b отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. 4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: x  x1 x2  x1  y  y1 y 2  y1 . 5. Уравнение прямой в отрезках: x y   1. a b 6. Общее уравнение прямой: Ax  By  C  0 , A, B  R , A2  B 2  0 .  Здесь p  B, A - направляющий вектор прямой l ,  n  A, B - вектор нормали к прямой l . 1 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(0,5) параллельно  x  12 . y  7  t прямой  Решение: Направляющий вектор искомой прямой совпадает с направляющим векто  ром заданной прямой: p2  p1  0,1. Следовательно, уравнение искомой прямой имеет x  0 . y  5  t вид:  Пример. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок величиной b  6 и образующей с осью Ox угол    . 6 Решение: Используя школьное уравнение прямой, имеем: y  tg  x  6, 6 3 y x  6. 3 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2,1) и образующей с осью Ox угол    4 . Решение: Используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом, имеем:   x  2 , 4 y  x  1. y  1  tg Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M 1 3,1, M 2 5,4 . Решение. Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим x  3 y 1 ,  2 3 или 3x  2 y  7  0 . Пример. Составить уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках A(2,0) , B(0,4) . Решение. Используя уравнение прямой в отрезках, получаем x y   1, 2 4 Или 2x  y  4  0 . Пример. Исследовать особенности расположения прямой Ax  By  C  0 в системе координат при: а) C  0 , б) A  0 , в) B  0 , г) A  C  0 , д) B  C  0 . а) Ax  By  0 , y   A x - прямая проходит через начало координат. B 2 C - прямая параллельна оси Ox . B C в) Ax  C  0 , x   - прямая параллельна оси Oy . A г) By  0 , y  0 - ось Ox . д) Ax  0 , x  0 - ось Oy . б) By  C  0 , y   ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Пусть на плоскости заданы две прямые l1 : A1 x  B1 y  C1  0 , l2 : A2 x  B2 y  C2  0 . Точки пересечения этих прямых можно найти из системы уравнений:  A1 x  B1 y  C1  0 .  A x  B y  C   2 2 2 Данная система уравнений может: а) иметь единственное решение при A1 A2 B1  0 . В этом случае прямые имеют единB2 ственную общую точку, то есть пересекаются. A1 б) иметь бесконечно много решений при A2  B1 B2  C1 C2 . В этом случае прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть они совпадают. в) не иметь решений при A1 A2  B1 B2  C1 . В этом случае прямые не имеют ни одной C2 общей точки, то есть параллельны. Пример. Исследовать взаимное расположение прямых: а) 2 x  7 y  3  0 , 6 x  21y  9  0 - совпадают, так как коэффициенты пропорциональны; б) x  5 y  7  0 , 3x  15 y  4  0 - параллельны, так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены - нет. в) 3x  2 y  4  0 , x  3 y  5  0 - пересекаются, так как 3 2 1 3  9  2  11  0 . ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ Пусть на плоскости заданы две прямые l1 : y  k1 x  b1 , l2 : y  k 2 x  b2 y . Определение. Под углом между двумя прямыми l1 и l 2 понимается наименьший угол, при повороте на который прямая l1 совпадает с l 2 :    2  1 , где 1 и  2 - углы, образованные прямыми l1 и l 2 с положительным направлением оси Ox . С использованием формулы для вычисления тангенса разности двух углов, имеем tg  tg  2  1   tg  tg 2  tg1 1  tg1  tg 2 k 2  k1 1  k1  k 2 3 . , Пример. Две прямые заданы уравнениями 2 x  y  3  0 , 3x  y  2  0 . Найти угол между этими прямыми. Решение. k1  2 , k 2  3 , тогда  32  1,   . 4 1 6 tg  УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ, СОВПАДЕНИЯ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Пусть на плоскости заданы две прямые l1 : y  k1 x  b1 , l2 : y  k 2 x  b2 y . Выведем условия параллельности, совпадения и перпендикулярности этих прямых:    2 , tg1  tg 2 , k1  k 2 , . l1 l2   1   b  b b  b b  b 1 1 1 2 2 2    2 , tg1  tg 2 , k1  k 2 , . l1  l2   1   b  b b  b b  b 1 2 1 2 1 2 1 . k1 Пример. Показать, что прямые l1 : 4 x  6 y  7  0 и l2 : 20 x  30 y  11  0 паралl1  l2  1   2  900  tg не существует  1  k1  k 2  0  k 2   лельны. 7  11 2 , b1   b2   l1 l2 . 6 30 3 Пример. Показать, что прямые l1 : 3x  5 y  7  0 и l2 :10 x  6 y  3  0 перпендикуРешение. k1  k 2  лярны. 3 5 5 3 Решение. k1  , k 2   , k2   1  l1  l2 . k1 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Расстояние от точки M 0 x0 , y0 до прямой l : Ax  By  C  0 может быть вычислено    по формуле d M 0 , l   Ax0  By0  C A2  B 2 . Пример. Найти длину высоты AH треугольника с вершинами A(5;2) , B(2;3) , C (0;3) . Решение. Составим уравнение прямой ВС. x2 y 3 ,  02 33 BC : 6 x  12  2 y  6 , BC : 6 x  2 y  6  0 , BC : 3x  y  3  0 . BC : Таким образом, AH  d  A, BC   35  2  3 10 4  10 .