Уравнение Дирака

Лекция №8 § 12. Уравнение Дирака Уравнение, описывающее движение свободной релятивисткой частицы, было сформулировано Дираком в следующем виде iℏ ∂Ψ = (β̂x p̂x + β̂y p̂y + β̂z p̂z +β̂0 )Ψ. ∂t (8.1) Вводя обозначение ̂ = β̂x p̂x + β̂y p̂y + β̂z p̂z +β̂0 . H (8.2) уравнение (8.1) можно записать в виде iℏ ∂Ψ ̂ Ψ. =H ∂t (8.3) ̂ и оператором импульса p̂ должна быть такой Связь между оператором Гамильтона H же, как и между энергией и импульсом в теории относительности. Поэтому примем ̂ 2 = c 2 (p̂2x + p̂2y + p̂2z ) + m2 c 4 . H (8.4) ̂ в Последнее требование позволяет определить операторы β̂𝑥 , β̂y , β̂z , β̂0 . Возводя H квадрат, получим ̂ 2 = β̂2x p̂2x + β̂2y p̂2y + β̂2z p̂2z + (β̂x β̂y + β̂y β̂x )p̂x p̂y + (β̂x β̂z + β̂z β̂x )p̂x p̂z + (β̂y β̂z + β̂z β̂y )p̂z p̂y H + (β̂x β̂0 + β̂0 β̂x )p̂x + (β̂y β̂0 + β̂0 β̂y )p̂y + (β̂z β̂0 + β̂0 β̂z )p̂z + β20 . (8.5) ̂ 2 будет иметь вид (8.4), если выполняются соотношения Оператор H β̂2x = β̂2y = β̂2z = c 2 , i = x, y, z β̂i β̂k + β̂k β̂i = 0 β̂20 = m2 c 4 i≠k β̂i β̂0 + β̂0 β̂i = 0. (8.6) Алгебраические структуры, подчиняющиеся соотношениям (8.6), образуют алгебру Клиффорда. Вместо операторов β̂i и β̂0 введём операторы α ̂i , β̂, которые отличаются от первых постоянным множителем β̂k = cα ̂k , β̂0 = mc 2 β̂. (8.7) Тогда для операторов α ̂ и β̂ имеют место очевидные равенства α2x = α ̂ ̂2y = α ̂2z = β̂2 = 1, ̂i α α ̂k + α ̂k α ̂i = 0, ̂i β̂ + β̂ α α ̂i = 0, (8.8) при i ≠ k. С помощью введённых операторов уравнение (8.3) может быть записано в виде iℏ ∂Ψ = [c(α ̂x p̂x + α ̂y p̂y + α ̂z p̂z ) + mc 2 β̂]Ψ. ∂t (8.9) Последнее уравнение называется уравнением Дирака. Если вести векторный оператор равенством 𝛂 = αx 𝐢 + αy 𝐣 + αz 𝐤 , (8.10) то уравнение Дирака запишется в компактной форме ∂φ ̂ Ψ, =H ∂t ̂ = c𝛂𝛒 ̂ + mc 2 β. H iℏ (8.11) Попробуем искать операторы α ̂i , β̂ в виде постоянных, вообще говоря, комплексных чисел, т. е. в виде квадратных матриц вида α11 α12 … α1n α21 α22 … α2n αk = ( … … … … … … … ). αn1 αn2 … αnn (8.12) Для этого сопоставим матрицам α ̂i и 𝛽 детерминанты α11 α12 … α1n α21 α22 … α2n detαx = | … … … … … … … |. αn1 αn2 … αnn (8.13) Прежде всего, заметим, что для детерминанта от произведения матриц выполняется соотношение det(αx β) = detαx detβ. (8.14) Из правил антикоммутаций (8.8) следует, что αx β = −βαx = (−I)βαx . (8.15) Здесь I − единичная матрица. Используя соотношения (8.14) и (8.15), находим det(αx β) = detαx detβ = det(−I)detβdetαx . (8.16) Отсюда получаем, что det(−I) = 1 (8.17) и, следовательно, (−1)𝑛 = 1. Отсюда следует, что n − чётное число. Следует ещё учесть одно обстоятельство. Из правил антикоммутации αk β + βαk = 0, следует, что (αk )−1 βαk = −β. (8.18) Составляя шпуры от обеих сторон этого равенства, получим Sp[ (αk )−1 βαk ] = Sp[ αk (αk )−1 β] = Sp(β) = Sp(−β) . (8.19) Следовательно, Sp(β) = 0. (8.20) Аналогичный результат справедлив и для других матриц Sp(αk ) = 0 . (8.21) Учитывая это обстоятельство, Дирак в качестве четырёхрядных матриц αk и β предложил αx = ( 1 1 1 1 0 0 0 0 ), α𝑦 = ( 0 −i i 0 −i 0 0 i 0 0 0 ), αz = ( 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 1 0 −1 ), β = ( 1 0 0 0 0 ) (8.22) −1 0 0 −1 Простой проверкой можно убедиться, что эти матрицы удовлетворяют всем требованиям. Эти матрицы можно записать в более сокращенном виде, используя матрицы Паули σj 0 σy 0 σx 0 σz I 0 αx = ( ), αy = ( ), αz = ( ), β = ( ), σx 0 σy 0 σz 0 0 −I где σx = ( (8.23) 0 1 1 1 0 ) , σy = (0 – i) , σz = ( ) ,I = ( ). 1 0 − 1 0 1 i Матрицы α ̂𝑘 , 𝛽 являются эрмитовыми. Поэтому можно записать αk = αk + , β = β+ . (8.24) В соответствии с числом строк и столбцов матриц αk и β волновая функция Ψ должна иметь четыре компоненты, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца Ψ1 Ψ2 Ψ = ( ), Ψ3 Ψ4 (8.25) именуемая биспинором Дирака. Под эрмитово – сопряженной функцией Ψ+ мы понимаем эрмитово – сопряженную матрицу, состоящую из одной строки: Ψ + = (Ψ1∗ Ψ2∗ Ψ3∗ Ψ4∗ ). (8.26) Тогда матричное уравнение Дирака будет эквивалентно четырём уравнениям, имеющим вид ∂Ψ1 = 𝑐(p̂x − ip̂y )Ψ4 + cp̂z Ψ3 + m0 c 2 Ψ1 , ∂t ∂Ψ2 iℏ = 𝑐(p̂x + ip̂y )Ψ3 − cp̂z Ψ4 + m0 c 2 Ψ2 , ∂t ∂Ψ3 iℏ = c(p̂x − ip̂y )Ψ2 + cp̂z Ψ1 − m0 c 2 Ψ3 , ∂t ∂Ψ4 iℏ = c(p̂x + ip̂y )Ψ1 − cp̂z Ψ2 − m0 c 2 Ψ4 . ∂t iℏ (8.27) Для того чтобы написать уравнение Дирака, описывающее движение частицы в e ̂ заменить на оператор 𝐩 ̂− 𝐀 и электромагнитном поле, необходимо оператор импульса 𝐩 c ̂ прибавить к оператору Н оператор eφ, где 𝐀 и Ф − векторный и скалярный потенциалы, соответственно. Тогда получим iℏ ∂Ψ e ̂ − 𝐀) + eФ + mc 2 β] Ψ . = [c𝛂 ( 𝐩 ∂t c (8.28) Рассмотрим теперь плотность вероятности и плотность потока вероятности в теории Дирака. Напишем уравнение Дирака для свободной частицы iℏ ∂Ψ = (−iℏс𝛂𝛁 + mc 2 β)Ψ . ∂t (8.29) Сопряжённое ему уравнение имеет вид ∂Ψ+ −iℏ = iℏс𝛁Ψ+ 𝛂+ + mc 2 Ψ + β+ . ∂t (8.30) Так как операторы 𝛂 и β эрмитовы, то 𝛂+ = 𝛂, β+ = β и мы получим −iℏ ∂Ψ+ = iℏс𝛁Ψ+ α + mc 2 Ψ+ β . ∂t (8.31) Уравнение (8.29) умножим на Ψ+ слева, а уравнение (8.31) на Ψ справа и вычтем из первого уравнения второе. В результате получим iℏ (Ψ + ∂Ψ ∂Ψ+ + Ψ) = −iℏс[Ψ+ 𝛂𝛁Ψ + (𝛁Ψ+ 𝛂)Ψ] . ∂t ∂t (8.32) Здесь круглая скобка в правой части этого уравнения, означает, что градиент действует только на функцию Ψ + . Выражение, стоящее в квадратных скобках, может быть легко преобразовано с помощью формулы: Ψ(𝛂𝛁)Ψ + (𝛁Ψ+ 𝛂)Ψ = Ψ+ div(𝛂Ψ) + (𝛁Ψ+ 𝛂)Ψ = div(Ψ+ 𝛂Ψ). Тогда уравнение (8.34) перепишется в виде ∂(Ψ+ Ψ) = −cdiv(Ψ+ 𝛂Ψ). ∂t (8.34) (8.33) Набор матриц αk , β не является единственным. Легко убедиться, что матрицы α′k = Sαk S −1 , β′ = SβS −1 , (8.35) получаемые из (8.22) с помощью произвольной унитарной матрицы S (чтобы сохранить эрмитовость), также удовлетворяем соотношениям, которым удовлетворяются матрицы αk , β. Сравнивая выражение с общей формулой для уравнения непрерывности, мы видим, что, существенно, положительная величина Ψ+ Ψ = Ψ1∗ Ψ1 + Ψ2∗ Ψ2 + Ψ3∗ Ψ3 + Ψ4∗ Ψ4 представляет собой плотность вероятности. Вектор, определяемым равенством 𝐣 = cΨ+ 𝛂Ψ, даёт плотность потока вероятности для частицы с волновой функцией Ψ. 1) Интерпретация величины |cm (t)|2, где cm (t) −коэффициент разложения Ψ = ∑ cm Ψm , m где Ψm − собственная функция некоторого оператора, как вероятности измерения собственного значения. 2) Определение среднего значения 𝐋 = ∫ Ψ+ L̂Ψdv . Следовательно, остаётся справедливой и вся схема построения квантовой механики.