Колебания линейных систем с одной степенью свободы

Лекция 3 Тема № 2 «КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ» 2.1. Уравнение движения Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.1. Тело массой m связано с опорой упругим безынерционным элементом жесткостью c и демпфером с параметром вязкого трения b. На массу действует сила F(t). Движение груза в этой системе происходит относительно положения статического равновесия, определяемого координатой 𝑞𝑞0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑐𝑐. Рис. 2.1 Выражение для потенциальной энергии 1 1 П = Ппр + П𝐺𝐺 = � 𝑐𝑐𝑞𝑞2 + 𝐺𝐺𝐺𝐺� − 𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑐𝑐𝑞𝑞2 . 2 Исследование П(q) на экстремум: 𝑑𝑑П 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐; 𝑑𝑑 2 П 𝑑𝑑𝑞𝑞2 2 = 𝑐𝑐 > 0. Положение статического равновесия системы устойчиво. Воспользовавшись принципом Даламбера в форме (1.10), получим уравнение движения 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ + 𝑏𝑏𝑞𝑞̇ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡). (2.1) К этому же уравнению приходим, если применить уравнение Лагранжа 2-го рода (1.15). В этом случае кинетическая энергия T, потенциальная энергия П и диссипативная функция Ф имеют вид: 1 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ 2 ; 2 2.2. 1 П = с𝑞𝑞2 ; 2 1 Ф = 𝑏𝑏𝑞𝑞̇ 2 . 2 Свободные колебания линейной системы Колебания называются свободными, если они обусловлены только начальными условиями. В соответствии с (2.1) уравнение свободных колебаний линейной системы с одной степенью свободы можно записать в виде: 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 0; 𝑞𝑞(0) = 𝑞𝑞0 ; 𝑏𝑏 где 2𝑛𝑛 = ; 𝑚𝑚 с 𝜔𝜔02 = ; 𝑚𝑚 (2.2) 𝑞𝑞̇ (0) = 𝑞𝑞̇ 0 , 𝑞𝑞0 – начальное значение обобщенной координаты; 𝑞𝑞̇ 0 - начальное значение обобщенной скорости. Решение уравнения (2.2) ищем в виде 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 , (2.3) где C и λ – комплексные константы, подлежащие определению. Подставив (2.3) в (2.2) получим алгебраическое уравнение для определения параметра λ: λ2 + 2𝑛𝑛λ + 𝜔𝜔02 = 0 (2.4) Из уравнения (2.4) находим: λ1,2 = −𝑛𝑛 ± 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑛𝑛 ; 𝜔𝜔𝑛𝑛 = �𝜔𝜔02 − 𝑛𝑛2 . (2.5) В соответствии с (2.3) и (2.5) решение уравнения (2.2) можно представить как 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 λ1𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 λ2𝑡𝑡 где комплексные константы можно принять в виде (2. 6) 𝐶𝐶1 = 𝑢𝑢1 + 𝑖𝑖𝜈𝜈1 ; (2.7) 𝐶𝐶2 = 𝑢𝑢2 + 𝑖𝑖𝜈𝜈2 Подставив (2.7) в (2.6) и оставив только действительную часть, получим: где 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡); 𝐴𝐴1 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 ; (2.8) 𝐴𝐴2 = 𝜈𝜈1 + 𝜈𝜈2 . Постоянные 𝐴𝐴1 и 𝐴𝐴2 определяются из начальных условий, которые приводят к выражениям: 𝐴𝐴1 = 𝑞𝑞0 ; 𝐴𝐴2 = 1 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑞𝑞̇ 0 + 𝑛𝑛𝑞𝑞0 ). (2.9) Подставив (2.9) в (2.8) приходим к решению уравнения (2.2) в виде 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑞𝑞0 �cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + Приняв 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴 sin 𝛽𝛽; 𝑛𝑛 𝜔𝜔𝑛𝑛 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡� + 𝑞𝑞̇ 0 𝜔𝜔𝑛𝑛 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡�. (2.10) 𝐴𝐴 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 cos 𝛽𝛽; 𝐴𝐴 = �𝐴𝐴12 + 𝐴𝐴22 ; 𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � 1�; 𝐴𝐴2 Можно представить выражение (2.10) в виде 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 ∙ sin(𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝛽𝛽). (2.11) Из (2.10) и (2.11) следует, что при 𝜔𝜔0 > 𝑛𝑛 колебания системы описываются затухающими периодическими функциями, вид которых показан на рис. 2.2. Важно отметить, что частота собственных колебаний 𝜔𝜔𝑛𝑛 в линейных системах не зависит от амплитуды. Рис. 2.2 При 𝜔𝜔0 ≤ 𝑛𝑛, в соответствии с (2.5), величины 𝜆𝜆1 и 𝜆𝜆2 будут действительными числами. В этом случае выражение (2.6) можно представить в виде 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝐵𝐵1 ∙ 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐵𝐵2 ∙ 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎) = 𝐴𝐴 ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑐𝑐ℎ(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝛽𝛽), (2.12) где 𝐵𝐵1 = 𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 ; 𝑡𝑡ℎ𝛽𝛽 = 𝐵𝐵1 /𝐵𝐵2 . 𝑎𝑎 = �𝑛𝑛2 − 𝜔𝜔02 ; 𝐵𝐵2 = 𝐶𝐶1 − 𝐶𝐶2 ; 𝐴𝐴 = �𝐵𝐵12 + 𝐵𝐵22 ; Функции (2.12) являются апериодическими. В зависимости от начальных условий они могут принимать формы, показанные на рис. 2.3. Рис. 2.3 2.3. Вынужденные колебания линейной системы 2.3.1. Формы уравнений движения В соответствии с (2.1) уравнение вынужденных колебаний линейных систем с одной степенью свободы можно записать в виде 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡), где 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 1 𝑚𝑚 (2.13) 𝐹𝐹 (𝑡𝑡); 𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝜔𝜔0 – параметры системы; F(t) – обобщенная сила; q(t) – обобщенная координата; 𝑞𝑞 (0) = 𝑞𝑞0 , 𝑞𝑞̇ (0) = 𝑞𝑞̇ 0 – начальные условия. В операторной форме уравнение (2.13) имеет вид (2.14) или 𝐿𝐿{𝑞𝑞 (𝑡𝑡)} = 𝑓𝑓(𝑡𝑡) (2.15) где 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻{𝑓𝑓(𝑡𝑡)}, 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝2 + 2𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝜔𝜔02 ; 𝑝𝑝 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝑝𝑝2 = 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 ; 𝐻𝐻 = 𝐿𝐿(−1) . (2.16) 2.3.2. Реакция системы на импульсное воздействие Вначале рассмотрим случай, когда нагружение системы представляет собой импульсное воздействие в момент времени 𝑡𝑡 = 𝜏𝜏, описываемое дельта-функцией Дирака 𝑓𝑓 (𝑡𝑡) = 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) (рис. 2.4, а). Реакция системы g(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) = 𝑞𝑞(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) на такое воздействие называется функцией Грина и в соответствии с (2.14) и (2.15) определяется из уравнений: 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏); (2.17) g(t − τ) = q(t − τ) = H{δ(t − τ}. (2.18) Рис. 2.4 Решение неоднородного уравнения (2.17) с начальными условиями 𝑞𝑞0 = 0, 𝑞𝑞̇ 0 = 0 можно заменить на решение соответствующего однородного уравнения, если начальные условия принять в виде: 𝑞𝑞0 = 0, 𝑞𝑞̇ 0 = 1. Справедливость этого утверждения следует из теоремы об изменении количества движения, в соответствии с которой имеем: +∞ +∞ 𝑞𝑞̇ 0 = ∫−∞ 𝑓𝑓 (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−∞ 𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1. Из (2.10) следует, что функция Грина для динамической системы, описываемой уравнением (2.13) имеет вид 1 g(t − τ) = �ωn e−n(t−τ) sin ωn (t − τ), t ≥ τ 0, t < τ График функции Грина показан на рис. 2.4, б. 2.3.3. Реакция системы на гармоническое воздействие (2.19) Рассмотрим теперь случай, когда воздействие на систему представляет собой гармоническую функцию с единичной амплитудой (рис. 2.5,а) Рис. 2.5 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = exp(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔. (2.20) Комплексное представление гармонического воздействия (2.20) будем использовать для получения формального решения, в котором мнимую часть в дальнейшем можно опустить. Решение уравнения (2.13) ищем в виде (2.21) 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ exp (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖), где 𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖) – комплексная амплитуда реакции системы, подлежащая определению. Подставив (2.20) и (2.21) в (2.13), найдем 𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝑖𝑖) = 1 −𝜔𝜔2 +2𝑛𝑛(𝑖𝑖𝑖𝑖)+𝜔𝜔02 . (2.22) Подставив (2.22) в (2.21), получим решение уравнения (2.13) в виде (рис.2.5, б) 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = (𝐻𝐻1 + 𝑖𝑖𝐻𝐻2 ) cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔). Удержав только действительную часть, получим 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻1 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝐻𝐻2 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛽𝛽), где 𝐻𝐻1 = 𝐴𝐴 cos 𝛽𝛽; 𝐻𝐻2 = 𝐴𝐴 sin 𝛽𝛽; 𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐻𝐻2 𝐻𝐻1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜔𝜔2 −𝜔𝜔02 ; (2.23) (2.24) 𝐴𝐴 = �𝐻𝐻12 + 𝐻𝐻22 = |𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖)| = 1/𝜔𝜔02 2 𝜔𝜔2 𝑛𝑛 2 𝜔𝜔 2 ��1− 2 � +4� � � � 𝜔𝜔 𝜔𝜔0 𝜔𝜔0 . (2.25) Функция |𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖)| называется передаточной функцией системы. при Поскольку величина 1/𝜔𝜔02 – есть статическое перемещение максимальном (амплитудном) значении 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡) 𝑚𝑚 = 1 ∙ cos 𝜔𝜔𝜔𝜔, то коэффициент 𝜇𝜇 = 𝐴𝐴𝜔𝜔02 (называемый амплитудным коэффициентом динамичности) будет показывать во сколько раз увеличивается максимальное статическое перемещение систем за счет динамического характера нагружения. График функции 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇 � 𝜔𝜔 𝜔𝜔0 , 𝑛𝑛� при различных значениях параметра n показан на рис. 2.6. При 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔0 наступает явление резонанса. Этот график можно понимать как амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) системы. Рис. 2.6 2.3.4. Реакция системы на периодическое воздействие. Метод Фурье Рассмотрим случай, когда воздействие 𝑓𝑓(𝑡𝑡) является T-периодической функцией, которую можно представить в виде ряда Фурье 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ∑+∞ , −∞ 𝐶𝐶𝑘𝑘 𝑒𝑒 где 1 𝑇𝑇 𝐶𝐶𝑘𝑘 = ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝑇𝑇 (2.26) 𝜔𝜔𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇. В соответствии с (2.15) имеем +∞ +∞ −∞ −∞ 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻 �� 𝐶𝐶𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡 � = � 𝐶𝐶𝑘𝑘 ∙ 𝐻𝐻�𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡 � = 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡 = ∑+∞ =∑+∞ −∞ 𝐶𝐶𝑘𝑘 ∙ 𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑘𝑘 ) ∙ 𝑒𝑒 −∞ 𝐶𝐶𝑘𝑘 ∙ 𝐴𝐴𝑘𝑘 ∙ cos(𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡 + 𝛽𝛽𝑘𝑘 ) , (2.27) где в последнем равенстве оставлена лишь действительная часть решения и 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 1 2 ��𝜔𝜔02 −𝜔𝜔𝑘𝑘2 � +4𝑛𝑛2 𝜔𝜔𝑘𝑘2 ; 𝛽𝛽𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑛𝑛𝜔𝜔𝑘𝑘 𝜔𝜔𝑘𝑘2 −𝜔𝜔02 . 2.3.5. Реакция системы на произвольное спектральных представлений Фурье воздействие. Метод В случае, когда воздействие 𝑓𝑓(𝑡𝑡) является произвольной функцией, вместо ряда (2.26) следует использовать ее представление в виде интеграла (трансформанты) Фурье +∞ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝐹𝐹(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, (2.28) где обратная трансформанта 𝐹𝐹(𝜔𝜔) определяется как 𝐹𝐹 (𝜔𝜔) = 1 +∞ ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝜋𝜋 −∞ (2.29) Представив процесс 𝑞𝑞(𝑡𝑡) также в виде интеграла Фурье воспользовавшись соотношениями (2.15) и (2.28), получим +∞ 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻 {𝑓𝑓(𝑡𝑡)} = � 𝐹𝐹 (𝜔𝜔) ∙ 𝐻𝐻�𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑑𝑑𝑑𝑑 = +∞ где 𝑄𝑄 (𝜔𝜔) = −∞ +∞ = ∫−∞ 𝐹𝐹 (𝜔𝜔) ∙ 𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−∞ 𝑄𝑄(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, 1 +∞ ∫ 𝑞𝑞(𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝜋𝜋 −∞ (2.30) и Из последнего равенства получаем соотношение, связывающее трансформанту Фурье на входе и выходе системы и ее передаточную функцию: (2.31) 𝑄𝑄 (𝜔𝜔) = 𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ 𝐹𝐹(𝜔𝜔). 2.3.6. Реакция системы на произвольное воздействие. Интеграл Дюамеля В соответствии с (2.15) и (2.19) и свойствами дельта-функции имеем равенства: +∞ 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻 {𝑓𝑓(𝑡𝑡)} = 𝐻𝐻 � � 𝑓𝑓(𝜏𝜏) ∙ 𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑� = −∞ +∞ 𝑡𝑡 � 𝑓𝑓(𝜏𝜏) ∙ 𝐻𝐻{𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)}𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝜏𝜏) ∙ g(t − τ)dτ = −∞ = 1 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 −∞ ∫−∞ 𝑓𝑓(𝜏𝜏) ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛(𝑡𝑡−𝜏𝜏) ∙ sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑. (2.32) Таким образом, задача об определении реакции системы на любое внешнее воздействие сводится к вычислению интеграла (2.32), называемого интегралом Дюамеля. 2.3.7. Реакция системы на внезапное воздействие Рассмотрим реакцию линейной системы на внезапно приложенное воздействие. Уравнение движения такой системы можно представить в виде 𝑓𝑓(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ≥ 0; 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = � 0, 𝑡𝑡 < 0, где для определенности примем, что 𝑞𝑞0 = 0, 𝑞𝑞̇ 0 = 0. (2.33) В соответствии с (2.32) решение уравнения (2.33) сводится к вычислению интеграла 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 1 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 ∫0 𝑓𝑓(𝜏𝜏) ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛(𝑡𝑡−𝜏𝜏) ∙ sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑. (2.34) Это же решение можно получить в виде суммы общего решения, соответствующего однородного уравнения (определяемого по формуле (2.8)), и частного решения 𝑞𝑞ст (𝑡𝑡), соответствующего установившемуся при 𝑡𝑡 → ∞ режиму колебаний: 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡) + 𝑞𝑞ст (𝑡𝑡). (2.35) Из соотношения (2.35) следует, что поставленная задача может быть сведена к определению постоянных 𝐴𝐴1 и 𝐴𝐴2 из начальных условий. Вначале рассмотрим (на примерах) именно этот вариант решения. Пусть 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (рис. 2.7, а). Тогда в соотношении (2.35) следует принять 𝑞𝑞ст = 𝑓𝑓0 /𝜔𝜔02 , т.к. при 𝑡𝑡 → ∞ перемещение в системе соответствует статическому приложению нагрузки. Из начальных условий (при 𝑡𝑡 = 0: 𝑞𝑞 = 0, 𝑞𝑞̇ = 0) находим 𝐴𝐴1 = −𝑞𝑞ст , 𝐴𝐴2 = −𝑛𝑛𝑞𝑞ст /𝜔𝜔𝑛𝑛 . Подставив эти значения постоянных в (2.35) получим 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞ст �1 − 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑛𝑛 �cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝑛𝑛 𝜔𝜔𝑛𝑛 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡��. (2.36) Рис. 2.7 2.4. Колебания линейных систем с кинематическими воздействиями Принудительное изменение расположения точек системы называется кинематическим воздействием. Примеры механических систем с кинематическими воздействиями показаны на рис. 2.8. Рис. 2.8 2.4.1. Составление уравнений движения Кинематическое воздействие обозначим через 𝑓𝑓(𝑡𝑡), а обобщенную координату - 𝑞𝑞(𝑡𝑡). Для системы, показанной на рис. 2.8, а, в соответствии со вторым законом Ньютона имеем 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ = 𝑏𝑏�𝑓𝑓̇ − 𝑞𝑞̇ � + 𝑐𝑐(𝑓𝑓 − 𝑞𝑞). Отсюда получаем уравнение движения в виде где 2𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚 𝑞𝑞̈ + 2𝑛𝑛𝑞𝑞̇ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 2𝑛𝑛𝑓𝑓̇ + 𝜔𝜔02 𝑓𝑓, , (2.37) 𝑐𝑐 𝜔𝜔02 = . 𝑚𝑚 Для системы, показанной на рис. 2.8, б, введем в рассмотрение силу F(t) в точке 1 кинематического воздействия и составим уравнения для определения перемещений: 𝑓𝑓 = 𝛿𝛿11 𝐹𝐹 + 𝛿𝛿12 (−𝑚𝑚𝑞𝑞̈ − 𝑏𝑏𝑞𝑞̇ ); 𝑞𝑞 = 𝛿𝛿22 (−𝑚𝑚𝑞𝑞̈ − 𝑏𝑏𝑞𝑞̇ ) + 𝛿𝛿21 𝐹𝐹. Исключив из этих уравнений силу F, получим 𝑚𝑚 �𝛿𝛿22 − 2 𝛿𝛿12 𝛿𝛿11 � 𝑞𝑞̈ + 𝑏𝑏 �𝛿𝛿22 − 2 𝛿𝛿12 𝛿𝛿11 � 𝑞𝑞̇ + 𝑞𝑞 = Для системы, показанной на рис. 2.8, в, имеем: кинетическую энергию 1 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑞𝑞̇ 2 ; 2 𝛿𝛿21 𝛿𝛿11 𝑓𝑓. (2.38) потенциальную энергию диссипативную функцию 1 П = 2𝑐𝑐(𝑞𝑞 − 𝑓𝑓)2 , где с = 12 2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑥𝑥 𝑙𝑙 3 1 Ф = 2𝑏𝑏(𝑞𝑞̇ − 𝑓𝑓̇)2 . ; 2 Подставив выражения для T, П и Ф в уравнение Лагранжа (1.15), получим 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ + 2𝑏𝑏𝑞𝑞̇ + 2𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝑏𝑏𝑓𝑓̇ + 2𝑐𝑐𝑐𝑐 (2.39) или, заменив 𝑞𝑞 − 𝑓𝑓 на 𝑣𝑣 – горизонтальное смещение ригеля (массы m) относительно заделок нижних концов упругих стоек, уравнение (2.39) примет вид 𝑚𝑚𝑣𝑣̈ + 2𝑏𝑏𝑣𝑣̇ + 2𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2𝑏𝑏𝑓𝑓,̈ где 𝑓𝑓̈ = 𝑓𝑓̈(𝑡𝑡) − акселерограмма кинематического воздействия, например, сейсмического. Заметим, что с точностью до обозначений уравнения (2.37), (2.38) и (2.39) совпадают. Поэтому, не умаляя общности, в дальнейшем будем рассматривать уравнение (2.37), которое представим также в операторной форме (2.40) или 𝐿𝐿1 {𝑞𝑞(𝑡𝑡)} = 𝐿𝐿2 {𝑓𝑓(𝑡𝑡)}, (2.41) или 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻1 �𝐿𝐿2 {𝑓𝑓(𝑡𝑡)}�, 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻2 �𝐿𝐿1 {𝑞𝑞(𝑡𝑡)}�, (2.42) где 𝐿𝐿1 = 𝑝𝑝2 + 2𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝜔𝜔02 ; (−1) 𝐻𝐻2 = 𝐿𝐿2 ; 𝐿𝐿2 = 2𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝜔𝜔02 ; 𝑝𝑝 = 𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑; (−1) 𝐻𝐻1 = 𝐿𝐿1 ; 𝑝𝑝2 = 𝑑𝑑2 /𝑑𝑑𝑡𝑡 2 . Если в (2.37) перейти к новой переменной 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 − 𝑞𝑞 (к деформации упругого элемента), то получим уравнение движения в виде 𝑦𝑦̈ + 2𝑛𝑛𝑦𝑦̇ + 𝜔𝜔02 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓̈(𝑡𝑡). (2.43) 2.4.2. Реакция на импульсное воздействие Реакция 𝑊𝑊(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) стационарной системы на кинематическое воздействие в виде дельта-функции 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) называется функцией Грина (рис. 2.9). Рис. 2.9 Эта функция определяется из решения уравнения (2.44) 𝐿𝐿1 {𝑊𝑊(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏} = 𝐿𝐿2 {𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)}. С учетом (2.18), (2.19) и (2.41) имеем: 𝑊𝑊 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) = 𝐿𝐿2 �𝐻𝐻1 {𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)}� = 𝐿𝐿2 {g(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)} = = (2𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝜔𝜔02 ) � где 1 −𝑛𝑛(𝑡𝑡−𝜏𝜏) 𝑒𝑒 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)� = 𝜔𝜔𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛(𝑡𝑡−𝜏𝜏) �2𝑛𝑛 cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) + 𝑡𝑡 > 𝜏𝜏 𝜔𝜔02 −2𝑛𝑛2 𝜔𝜔2 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)�, (2.45) 2.4.3. Реакция на произвольное кинематическое воздействие. Метод функции Грина Представим кинематическое воздействие в виде интеграла Дирака +∞ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑓𝑓(𝜏𝜏)𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.46) Тогда в соответствии с (2.41) и (2.45), имеем: 𝑡𝑡 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑓𝑓(𝜏𝜏)𝑊𝑊 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.46) 2.4.4. Реакция на кинематическое гармоническое воздействие Реакцию системы на кинематическое гармоническое воздействие 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = exp (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) будем искать в виде (2.47) 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ exp (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖). Подставив (2.47) в (2.37), найдем 𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝑖𝑖) = 𝜔𝜔02 +2𝑛𝑛∙(𝑖𝑖𝑖𝑖) ; 𝜔𝜔02 −𝜔𝜔2 +2𝑛𝑛∙(𝑖𝑖𝑖𝑖) |𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝑖𝑖)| = � 𝜔𝜔04 +2𝑛𝑛2 𝜔𝜔2 2 �𝜔𝜔02 −𝜔𝜔2 � +4𝑛𝑛2 𝜔𝜔2 (2.48) . (2.49) 2.4.5. Реакции системы на произвольное кинематическое воздействие. Метод спектральных представлений Фурье Представим кинематическое воздействие и реакцию системы на него в виде интегралов Фурье: +∞ (2.50) 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑄𝑄(𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, +∞ (2.51) 1 +∞ (2.52) 1 +∞ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ∫−∞ Ф(𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑; где комплексные амплитудные спектры определяются как Ф(𝜔𝜔) = 𝑄𝑄 (𝜔𝜔) = ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑; 2𝜋𝜋 −∞ ∫ 𝑞𝑞(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡. 2𝜋𝜋 −∞ (2.53) Подставив (2.50) в (2.41), получим +∞ +∞ 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻1 �𝐿𝐿2 {𝑓𝑓(𝑡𝑡)}� = ∫−∞ Ф(𝜔𝜔)𝐻𝐻1 �𝐿𝐿2 �𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = ∫−∞ Ф(𝜔𝜔)𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 Сопоставив полученный результат с (2.51), найдем 𝑄𝑄 (𝜔𝜔) = 𝐻𝐻(𝑖𝑖𝑖𝑖)Ф(𝜔𝜔), где 𝐻𝐻 (𝑖𝑖𝑖𝑖) определяется по формуле (2.48). (2.53)